Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz

Zusammenfassung

Hauptziel dieses Kapitels ist der Zentrale Grenzwertsatz für Summen unabhängiger Zufallsvariablen (Satz 15.37) und für unabhängige Schemata (Satz von Lindeberg-Feller, Satz 15.43), wobei wir für den letzteren nur die eine Richtung beweisen (Satz von Lindeberg).

Das Hilfsmittel der Wahl für die Behandlung von Zentralen Grenzwertsätzen sind charakteristische Funktionen, also Fouriertransformierte von W-Maßen. Wir beginnen mit einer sehr allgemeinen Betrachtung über Klassen von Testfunktionen, die schwache Konvergenz charakterisieren können, (trennende Funktionenklassen, Satz von Stone-Weierstraß) und betrachten dann Fouriertransformierte im Detail (Levy’scher Stetigkeitssatz, Momente und Differenzierbarkeit, Fourierinversion). Der nachfolgende Abschnitt beweist mit Hilfe von charakteristischen Funktionen den Zentralen Grenzwertsatz für reelle Zufallsvariablen. Im fünften Abschnitt zeigen wir den mehrdimensionalen Zentralen Grenzwertsatz.