Eigenwerte und Normalformen von Matrizen

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt ist K ein beliebiger Körper. „Vektorraum“ bedeutet stets „K-Vektorraum“. Ist $\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_n$ eine Basis des Vektorraums V, so lässt sich jeder Vektor $\vec{x} \in V$ als Linearkombination $\vec{x} = x^1\vec{v}_1+\ldots+x^n\vec{v}_n$ mit (durch $\vec{x}$) eindeutig bestimmten $x^1,\ldots,x^n \in K$ darstellen. Diese Körperelemente $x^1,\ldots,x^n$ heißen Komponenten von $\vec{x}$ oder Koordinaten von $\vec{x}$ in der Basis $\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_n$. Wir wollen hier der Frage nachgehen, wie sich diese Koordinaten des Vektors $\vec{x}$ ändern, wenn wir ihn in einer anderen Basis $\vec{w}_1,\ldots,\vec{w}_n \in V$ entwickeln. Dazu schreiben wir zuerst die neuen Basisvektoren $\vec{w}_i$ als Linearkombinationen der alten Basisvektoren $\vec{v}_i$.