Motivation: Mechanik und Optik

Zusammenfassung

Für ein mathematisches Billard braucht man ein Gebiet G, beispielsweise in der Ebene (den Billardtisch), und einen Massepunkt (die Billardkugel), der sich in diesem Gebiet frei bewegt. Der Massepunkt bewegt sich so lange geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit, bis er auf den Rand trifft. Die Reflexion am Rand ist elastisch und unterliegt einem bekannten Gesetz: Der Einfallswinkel ist genauso groß wie der Reflexionswinkel. Nach der Reflexion bewegt sich der Massepunkt mit der neuen Geschwindigkeit weiter frei fort, bis er erneut den Rand trifft.

Eine äquivalente Beschreibung der Billardreflexion lautet: Die Geschwindigkeit der auftreffenden Billardkugel wird am Auftreffpunkt in eine Normal- und eine Tangentialkomponente zerlegt. Bei der Reflexion ändert die Normalkomponente augenblicklich ihr Vorzeichen, während die Tangentialkomponente gleich bleibt. Insbesondere ändert sich der Betrag der Geschwindigkeit nicht, und man kann annehmen, dass sich der Punkt ewig mit gleicher Geschwindigkeit weiterbewegt.