Zusammenfassung
Von David Hilbert stammt nicht nur die Konzeption des Programms für die Beweistheorie und die Energie für diesen „start-up“, sondern auch die ersten Widerspruchsfreiheitsbeweise selbst. Ab 1917 hat er eng mit Paul Bernays zusammengearbeitet. Bevor in diesem Kapitel die Widerspruchsfreiheitsbeweise analysiert werden, ist daher zunächst Einiges über die Anteile der beiden an der gemeinsamen beweistheoretischen Arbeit zu sagen (1.1, S. 207ff.) . Anschließend wird es zuerst um die frühen relativen Widerspruchsfreiheitsbeweise für euklidische und nichteuklidische Geometrien gehen (1.2, S. 208ff.), dann weiter um die ersten syntaktischen Widerspruchsfreiheitsbeweise für die Arithmetik (1.3, S. 214ff.) und die spätere Wiederaufnahme dieser Ideen (1.4, S. 217ff.), die über verschiedene Zwischenstufen (1.5, S. 222ff.) schließlich zum vollentwickelten Konzept der Beweistheorie ausgearbeitet wurden (1.6, S. 231ff.).
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Notes
- 1.
Vgl. etwa Hilbert, Die logischen Grundlagen [1923], 151, oder Hilbert, Grundlagen Mathematik [1928], 21.
- 2.
Zu den genannten Forschungen siehe Sieg/Tapp, Introduction [2007], sowie unten den Abschn. 9.5.1
- 3.
Vgl. auch den Abschn. 3.2
- 4.
In der elliptischen Geometrie gilt als Alternative zum Parallelenaxiom, daß es zu einer Gerade und einem nicht auf ihr liegenden Punkt keine Parallelen gibt. In der hyperbolischen Geometrie gibt es hingegen unendlich viele. Die Kongruenzrelationen werden in dem erwähnten Modell für die elliptische Geometrie durch lineare Automorphismen der Kugel angewandt auf euklidische Kongruenzrelationen interpretiert.
- 5.
Das Axiomensystem entspricht im Wesentlichen dem, das Hilbert auch in Über den Zahlbegriff verwendet hat. Es ist am Ende von Abschn. 9.3 angegeben.
- 6.
Vgl. hierzu im ersten Teil Abschn. 3.2.2
- 7.
Zu den verschiedenen Begriffen von Widerspruchsfreiheit vgl. auch im ersten Teil Abschn. 3.5.4
- 8.
Da bspw. die Diagonale eines Quadrats mit rationaler Seitenlänge nicht rational ist, muß ein Modell der Geometrie neben den rationalen Zahlen ℚ mindestens auch diejenigen algebraischen Zahlen enthalten, die aus ℚ durch wiederholte Anwendung von \(x\mapsto\sqrt{1+x^{2}}\) hervorgehen.
- 9.
Hilberts Argument dafür, daß die reellen Zahlen das Vollständigkeitsaxiom auch tatsächlich erfüllen, ist recht informativ. Kurz gesprochen lautet es: Wären die reellen Zahlen erweiterbar, so gäbe es einen neuen Punkt N, der einen Dedekindschen Schnitt definiert. Die entsprechende Schnittzahl A, die ja kein „neuer Punkt“ sein kann, läßt sich zur Konstruktion eines Widerspruchs verwenden: Zwischen A und N lägen dann nämlich alte Punkte und es lägen keine dort. Vgl. Hilbert, Grundlagen Geometrie [1899], 36–37.
- 10.
Dieses Ergebnis widerlegt eine Einschätzung von Michael Resnik, der behauptete:
Im Gegensatz dazu [= zu Frege, C.T.] legte Hilbert keinen Wert auf die Reduktion einer Theorie auf eine andere.Resnik, Frege [1980], 114, Eig. Übers.
Im englischen Original: „Hilbert, by contrast [to Frege, C.T.], placed no importance on the reduction of one theory to another.“ – Hilbert war im Gegenteil an solchen Reduktionen äußerst interessiert, zumindest im Rahmen der Frage nach der Widerspruchsfreiheit.
- 11.
Frege hingegen konnte sich grundsätzlich keinen „direkten Weg“ vorstellen; vgl. Frege, Briefwechsel [1976], 71.
- 12.
Vgl. auch Abschn. 2.1 in Sieg, Beyond Hilbert's [2002].
- 13.
Strenggenommen ist das noch kein Beweis, denn man müßte beispielsweise die Möglichkeit ausschließen, daß sich aus der (inhomogenen) Ungleichung im Verbund mit den anderen Axiomen irgendwelche inhomogenen Gleichungen ableiten lassen. Daß dieser Punkt hier nicht der Rede wert ist, liegt daran, daß der Kalkül nahezu logikfrei ist. Vgl. die Anmerkungen zum folgenden Argumentationsschema.
- 14.
Vgl. auch das Kapitel über den Finitismus im ersten Teil (Kap. 5), wo schon dargelegt wurde, daß Hilbert diesen konstruktiven Aspekt der Objekttheorien noch bis 1922/23 als Charakteristikum seiner neuen Beweistheorie (die damals allerdings noch nicht so hieß) ansah.
- 15.
Hilbert, Zahlbegriff [1900b]. Ursprünglich handelt es sich um einen Vortrag, den Hilbert auf der Versammlung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1899 in München gehalten hatte. Er wurde mit dem Datum „Göttingen, den 12. October 1899“ publiziert im Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 8 (1900), S. 180–184, und gehört zu denjenigen ausgewählten Aufsätzen, die (in gekürzter Fassung) der siebten Auflage der Grundlagen der Geometrie angehängt wurden.
- 16.
In den Grundlagen: „Sätze der Verknüpfung“.
- 17.
In den Grundlagen: „Regeln der Rechnung“.
- 18.
In den Grundlagen: „Sätze der Anordnung“.
- 19.
Die zweite Ungleichung, die sich ja aus der ersten mittels Kommutativität (II 2.) ergibt, ist in der Fassung der Grundlagen ausgelassen.
- 20.
Auch hier fehlt in den Grundlagen die zweite Ungleichung, die ebenfalls aus einem der Kommutativitätsgesetze folgt (II 6.).
- 21.
In den Grundlagen: „Sätze der Stetigkeit“.
- 22.
In den Grundlagen steht hinter „Dingen“ zusätzlich: „als Zahlen“.
- 23.
Die hier von Hilbert angegebene Eigenschaft des formalen Systems läßt sich „von innen“ wohl kaum adäquat auffassen. Hilbert wird ja nicht an ein formalisiertes Beweisbarkeits- und ein Erfüllbarkeitsprädikat gedacht haben. „Von außen“ könnte man dieses „Axiom“ wohl als Kategorizitätsaussage auffassen: Alle Modelle (einer gegebenen Kardinalität?) sind isomorph; insofern lassen sich dann den Zahlen (= den Objekten in einem Modell) keine weitere Zahlen (= keine weiteren Objekte in dem Modell) hinzufügen.
- 24.
Ewald/Sieg, Lectures [2013], 254.
- 25.
Nach eigenem Bekunden hat Hilbert das Problem der Widerspruchsfreiheitsbeweise jedoch nie losgelassen. In Neubegründung sagt er dann auch 1921, er habe dieses Problem „seit Jahrzehnten niemals außer Augen gelassen“; vgl. Hilbert, Neubegründung [1922], 159.
- 26.
Zu dieser Entwicklung vgl. besonders Sieg, Hilbert's Programs [1999].
- 27.
Hilbert, Axiomatisches Denken [1918].
- 28.
Die folgenden Ausführungen stützen sich vor allem auf Sieg, Hilbert's Programs [1999], 14–17, sowie auf die von Bernays erstellte offizielle Ausarbeitung zu Hilberts Vorlesung, die in Ewald/Sieg, Lectures [2013] publiziert wird.
- 29.
Weyl, Das Kontinuum [1918].
- 30.
Zur außergewöhnlichen Semesterzählung 1920 in Göttingen siehe Fußnote 11, Abschn. 6.2.
- 31.
Zu den vorstehenden Einschätzungen vgl. Ewald/Sieg, Lectures [2013], 250–251.
- 32.
Vgl. hierzu besonders Ewald/Sieg, Lectures [2013], 256–257.
- 33.
Vgl. Ewald/Sieg, Lectures [2013], 260.
- 34.
Die Vorlesung ist Hilbert, Sommersemester 20 [1920a*], der Heidelberger Vortrag war Hilbert, Grundlagen Logik [1905].
- 35.
Hilbert, Sommersemester 20 [1920a*], 37.
- 36.
So Ewald/Sieg, Lectures [2013], 268.
- 37.
Das Manuskript wird verwahrt von der Abteilung Handschriften und seltene Drucke der Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen, Signatur: Cod. Ms. D. Hilbert 602. Es wird in absehbarer Zeit publiziert in Ewald/Sieg, Lectures [2013]. Die Ausführungen dieses Abschnitts stützen sich auf Forschungsarbeiten, die gemeinsam mit Wilfried Sieg durchgeführt worden sind, vgl. auch Sieg/Tapp, Introduction [2007].
- 38.
Siehe hierzu Sieg/Tapp, Introduction [2007].
- 39.
Hier bemerkt man deutlich, wie wichtig ein genaues Verständnis von Hilberts Redeweise von „bedeuten“ ist. Nur Kurzzeichen „bedeuten“ ein bestimmtes Zahlzeichen, aber nicht beliebige geschlossene Terme. Sie „bedeuten“ im Allgemeinen nicht ihren Wert. — Außerdem läßt sich bemerken, daß die Schreibweise der Nachfolgeroperation als „+1“ hier den wesentlichen Unterschied zwischen der rechten und er linken Seite des Axioms 10. verschleiert. Hätte Hilbert die Nachfolgeroperation etwa als S geschrieben, so hätte das Axiom 10. die Gestalt 1 + S a = S(1 + a) und der Unterschied zwischen beiden Seiten wäre klarer zu sehen.
- 40.
Hilbert, Neubegründung [1922].
- 41.
Die Nummerierung weicht hier von Hilbert ab. Er hat zuerst ein Axiom Nummer 2. eingeführt, nämlich 1 + (a + 1) = (1 + a) + 1, was Axiom 10. im Manuskript (vgl. Abschn. 9.5.1) entspricht. Im Widerspruchsfreiheitsbeweis hat Hilbert dieses Axiom jedoch ausgelassen. Es hätte ansonsten das prägnante Lemma gestört, daß nur Gleichungen ableitbar sind, bei denen rechts und links derselbe Term steht; siehe Argumentationsstruktur unten, Nr. (2).
- 42.
Hilbert gibt fünf „Regeln“ für den Allquantor an: (1) Einführung außen, (2) Weglassen außen, (3) Gebundene Umbenennung, (4) Vertauschung zweier, (5) Verschiebung in das Sukzedens (mit Variablenbedingung). Der Status dieser Regeln wird nicht ganz klar, denn Hilbert gibt sie schon bei der Festlegung der formalen Sprache an, während er im Zusammenhang mit den Axiomen nur den Modus ponens als Schlußregel erwähnt. Eine Formulierung wie die von Regel (4): „Zwei unmittelbar aufeinanderfolgende Allzeichen, deren Wirkungsbereiche sich gleich weit erstrecken, dürfen miteinander vertauscht werden“, in der von „dürfen“ die Rede ist, läßt zunächst an eine Deutung als „zulässige Regel“ denken, d. h. an einen metatheoretischen Satz über den Kalkül, daß man den behaupteten Übergang immer mittels anderer Schlüsse durchführen kann. Diese Interpretation scheidet jedoch für Regeln wie die All-Einführung (1) aus. Daher ist (4) wohl im Sinne folgender Schlußregel zu lesen:
$$\begin{array}[]{@{}c@{}}\\ \forall x\forall y\phi(x,y)\\ \hline\forall y\forall x\phi(x,y).\end{array}$$Vgl. Hilbert, Neubegründung [1922], 167–168.
- 43.
Vgl. Hilbert, Neubegründung [1922], 173–177.
- 44.
Vgl. Hilbert, Neubegründung [1922], 176–177.
- 45.
Vgl. Hilbert, Die logischen Grundlagen [1923], 152, bes. Fn. 3.
- 46.
Vgl. Sieg, Hilbert's Programs [1999], 27.
- 47.
Vgl. Sieg, Hilbert's Programs [1999], 23.
- 48.
Bernays' Ausarbeitung zur Wintersemester 1921/22-Vorlesung hat drei Paginierungseinheiten. Die erste reicht von Seite 1–100 und folgt wohl im Wesentlichen dem tatsächlichen Verlauf der Vorlesung. Die zweite trägt Seitennummern 1a, 2a usw. bis 9a und gibt eine konzeptionelle Einführung in „die neue Hilbertsche Beweistheorie“. Die dritte schließlich hat die Seitennummern 1–38 und ist wahrscheinlich nach der eigentlichen Vorlesung entstanden. Ein sicherer terminus ante quem ist allerdings das kommende Wintersemester, denn die Ausarbeitung enthält einen Fehler, der auf einem eingeklebten Blatt korrigiert wird, und den Hilbert im darauffolgenden Wintersemester, wenn er diesen Stoff erneut referiert, nicht wieder macht.
- 49.
Hilbert, Neubegründung [1922]; vgl. auch oben Abschn. 9.5.2
- 50.
„Wir brauchen andre Schlußweisen als [Modus ponens] […] Wir wollen aber nur dies und nehmen die anderen als logische Axiome hinzu“; Hilbert, Wintersemester 21/22 (Kneser) [1922*], II, 20.
- 51.
Hilbert, Wintersemester 21/22 (Kneser) [1922*], II, 20.
- 52.
Vgl. Hilbert, Neubegründung [1922], 168+175–176.
- 53.
Hilbert, Wintersemester 21/22 (Kneser) [1922*], II, 29.
- 54.
So kann man zumindest Hilberts sparsame Formulierung interpretieren, wenn er über einen der definierenden Terme y 0 sagt: „Sei y 0 ein bekanntes Funktional“; vgl. Hilbert, Wintersemester 21/22 (Kneser) [1922*], II, 29.
- 55.
Vgl. hierzu die Diskussion der Probleme mit dem Ansatz von Ackermann in Kap. 10
- 56.
Vgl. Hilbert, Wintersemester 21/22 (Kneser) [1922*], III, 3–4.
- 57.
Eine „explizite Formel“ ist also eine solche, bei der man die Werte der Terme nicht ausrechnen muß, sondern sie explizit angegeben sind.
- 58.
Hilbert, Wintersemester 21/22 (Bernays) [1922a*], 19; vgl. erster Teil, Abschn. 3.5.4.1
- 59.
Diese Transformation führt u. U. nicht wieder auf einen Beweis, vgl. auch das von Bernays verfaßte handschriftliche Korrekturblatt bei S. 26 des Anhangs zur Vorlesungsausarbeitung Hilbert, Wintersemester 21/22 (Bernays) [1922a*]. Dennoch handelt es sich um Formelkonfigurationen, die genau dieselbe Struktur wie der ursprüngliche Beweis haben. Um nicht umständlich von „einer einem Beweis strukturisomorphen Formelkonfiguration“ reden zu müssen, wird im Folgenden dafür immer „‚Beweis‘“ (also „Beweis“ in Anführungszeichen) verwendet.
- 60.
Hilbert, Die logischen Grundlagen [1923], 151.
- 61.
Hilbert, Die logischen Grundlagen [1923], 158.
- 62.
Vgl. Hilbert, Die logischen Grundlagen [1923], 157–158.
- 63.
Hilbert, Die logischen Grundlagen [1923], 156.
- 64.
Das hat Hilbert schon in Hilbert, Neubegründung [1922], 176–177, angedeutet.
- 65.
So Hilberts Beispiel in Hilbert, Die logischen Grundlagen [1923], 185.
- 66.
Hilbert und Bernays haben die Vorlesung anscheinend gemeinsam gehalten. Daher bietet die Kneser-Mitschrift interessante historische Details, da sie die von Hilbert und von Bernays jeweils vorgetragenen Teile durch „(H)“ und „(B)“ unterscheidet.
- 67.
Vgl. Hilbert, Wintersemester 22/23 (Kneser) [1923*], 17.
- 68.
Vgl. Hilbert, Wintersemester 22/23 (Kneser) [1923*], 19.
- 69.
Vgl.Hilbert, Die logischen Grundlagen [1923], 157–158; Hilbert, Wintersemester 22/23 (Kneser) [1923*], 20–22; und oben Abschn. 9.6.2
- 70.
Hilbert beschrieb das Verfahren des Widerspruchsfreiheitsbeweises in seinem Leipziger Vortrag dahingehend, „daß wir den als vorliegend angenommenen Beweis sukzessive abändern“; Hilbert, Die logischen Grundlagen [1923], 156. An der entsprechenden Stelle der Vorlesung heißt es hingegen: „Einen Beweis mit einer numerischen Endformel unterwerfen wir einer Gesamtreduktion“; Hilbert, Wintersemester 22/23 (Kneser) [1923*], 20.
- 71.
Vgl. Hilbert, Wintersemester 22/23 (Kneser) [1923*], 26–27.
- 72.
Vgl. etwa Hilbert, Wintersemester 22/23 (Kneser) [1923*], 28.
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Tapp, C. (2013). Hilberts Widerspruchsfreiheitsbeweise. In: An den Grenzen des Endlichen. Mathematik im Kontext. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-29654-3_9
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