Zusammenfassung
Das Hilbertprogramm war motiviert durch das Bedürfnis, die mathematischen Grundlagen gegen das Auftreten von Widersprüchen abzusichern, ohne bestimmte Schlußweisen, die in der Mathematik üblich geworden sind, einfach zu verbieten. Bestimmte Fortschritte bei der Erforschung der Grundlagen der Mathematik zeigten, daß es sinnvoll war, dieses Bedürfnis auch im grundlagentheoretischen Bereich aufrechtzuerhalten. Die Rede ist von Fortschritten bei der Axiomatisierung der Mathematik. Darunter ist kurz gesprochen zu verstehen, daß ein Wissensgebiet (oder eine Theorie) so umgestaltet wird, daß bestimmte Sätze der Theorie als Axiome festgelegt werden, aus denen sich die übrigen Sätze der Theorie als rein logische Folgerungen ableiten lassen. Das so entstandene deduktive System kann dann typischerweise auf logische Eigenschaften untersucht werden wie beispielsweise auf Konsistenz, Vollständigkeit und Unabhängigkeit.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Notes
- 1.
Im Folgenden wird „Theorie“ immer im informellen Sinne aufgefaßt, also insbesondere nicht im logischen Sinne einer Menge von Sätzen, die bspw. in einem Modell gelten o. ä. Vielmehr ist damit ein Wissensgebiet gemeint, d. h. eine Menge von Sätzen, die einerseits in gewisser Weise abgegrenzt erscheint gegenüber anderen Wissensgebieten und andererseits eine gewisse innere Kohärenz aufweist. Dies kann und soll hier nicht näher präzisiert werden.
- 2.
Eine sehr instruktive Darstellung der axiomatischen Methode aus Hilberts Feder ist sein Vortrag Axiomatisches Denken (Zürich, September 1917), der unter demselben Titel 1918 veröffentlicht wurde: Hilbert, Axiomatisches Denken [1918].
- 3.
Eine strikte Trennung von Formalismus und Beweistheorie fordert auch Peckhaus, Impliziert [2005b], 3, wobei er mit dem Ausdruck „Formalismus“, soweit ich ihn verstehe, genau das meint, was hier „Axiomatisierung“ oder „Axiomatik“ genannt wird.
- 4.
Hilbert, Über das Unendliche [1926], 177.
- 5.
Vgl. Frege, Briefwechsel [1976], 67.
- 6.
Frege teilte Hilberts Meinung, daß die nachträgliche Einführung von Axiomen ein Übel sei, das man vermeiden müsse. Denn, so sieht es auch Frege, durch die Hinzufügung eines Axioms wird an den Begriffen etwas verändert. Dies sieht man einerseits an seinem Hauptkritikpunkt an der genetischen Methode, daß nämlich dort die Begriffe schon benutzt würden, obwohl sie noch nicht fertig seien; vgl. Frege, Briefwechsel [1976], 72. Andererseits daran, daß er Hilbert vorhält, eigentlich nicht von „dem“ Parallelenaxiom sprechen zu dürfen, da es sich in jeder Geometrie um einen anderen Gedanken handle, der nur mit denselben Worten ausgedrückt werde; vgl. Frege, Briefwechsel [1976], 75.
- 7.
Vgl. Frege, Briefwechsel [1976], 67.
- 8.
Es soll hier nicht behauptet werden, daß Hilbert der „Erfinder“ dieser neuartigen Konzeption von Axiomatik gewesen wäre. Es gibt starke Anzeichen dafür, daß man etwa die Arbeiten Richard Dedekinds zur Theorie der natürlichen Zahlen als Vorläufer dieser konzeptionellen Umwälzung ansehen kann. Vgl. auch die Ausführungen zu Dedekind im Kapitel über den Logizismus (4.1.2).
- 9.
So ist die Entstehung der Grundlagen der Geometrie von Hilberts Beschäftigung mit der axiomatischen Physik mitgeprägt worden. Besonders die 1894 posthum veröffentlichten Prinzipien der Mechanik von Heinrich Hertz und die Arbeiten Carl Neumanns zur Galilei-Newtonschen Mechanik sind hier zu nennen. Über die naturwissenschaftlichen Einflüsse auf die Entstehung der Grundlagen der Geometrie berichtet Corry, Empiricist Roots [2000]; allgemeiner auch Toepell, On the origins [1986].
- 10.
Vgl. dazu die Diskussion um Freges „Axiom V“ in Kap. 4.1.1, besonders Fußnote 26.
- 11.
Vgl. Purkert, Georg Cantor [1986], 151–152; Tapp, Kardinalität [2005], 54–57.
- 12.
Vgl. Frege, Briefwechsel [1976], 79–80.
- 13.
So etwa Gödel, Vollständigkeit des Logikkalküls [1929], 62. – Beweisbarkeit ohne Relativierung auf ein Axiomensystem ist ein trivialer Begriff, denn ohne Einschränkung der zulässigen Prämissen wäre schlicht jede Aussage beweisbar: Zu einer beliebigen Aussage ϕ nehme man einfach ϕ selbst als Axiom, um ϕ zu beweisen; oder, wenn dies zu trivial erscheint, eine beliebige Aussage ψ und das Konditional ψ → ϕ, sodaß mit einer Anwendung des Modus ponens wirklich auf ϕ geschlossen werden kann. Erst relativ zu einem Axiomensystem wird Beweisbarkeit ein interessanter Begriff. Die „absolute“ Frage, ob man 1 = 1 beweisen kann, macht wenig Sinn. Ob man jedoch 1 = 1 aus einem Axiomensystem ableiten kann, das ein Axiom a = a und eine Substitutionsschlußregel umfaßt und dessen Sprache aus der Konstante 1, der freien Variable a und dem = -Zeichen besteht, ist klar zu bejahen. Ob man hingegen 1 = 1 aus einem Axiomensystem ableiten kann, das nur die Axiome a + 0 = a und 0 = 0 enthält und in dessen Sprache die Zeichen 0, a, 1 und = vorkommen, kann ebenso klar verneint werden (denn alle in diesem System ableitbaren Aussagen enthalten mindestens einmal das Zeichen 0; 1 = 1 enthält jedoch keine 0). – Vgl. hierzu das Kapitel über Hilberts frühe Beweistheorie (zweiter Teil, Kap. 9).
- 14.
Z. B. Frege, vgl. Frege, Briefwechsel [1976], 62.
- 15.
Vgl. auch die Neuedition von Hilbert, Grundlagen Geometrie [1899] in Hallett, Hilbert's Lectures [2004].
- 16.
Während sich das Werk selbst im Laufe der Auflagen wenig veränderte, sind die ihm beigefügten Anhänge (durch Hilbert) und Supplemente (durch Bernays) publikationsgeschichtlich interessant. Die siebte Auflage, die 1930 als letzte zu Hilberts Lebzeiten erschien, enthielt insgesamt 10 Anhänge. In die späteren Auflagen wurden davon nur die Anhänge 1–5 übernommen. Der Anhang 8 der siebten Auflage war beispielsweise eine empfindlich gekürzte Fassung des Aufsatzes Über das Unendliche, der damit in drei verschiedenen von Hilbert autorisierten Fassungen vorliegt.
- 17.
Zur Bedeutung der Elemente des Euklid für die mittelalterliche Wissenschaft siehe Folkerts, Euclid [1989]; zur Bedeutung für die mittelalterliche islamische Mathematik Folkerts, Arabische Mathematik [1993].
- 18.
Dedekind, Was sind [1888].
- 19.
Vgl. das Schlußwort zu Hilbert, Grundlagen Geometrie [1899]. Ähnlich ist auch in Hilbert, Mathematische Probleme [1900a], 293, im Bezug auf die Arithmetik die Rede von „Prinzipien“, die mathematischen Begriffen zugrundeliegen und die die Mathematik „durch ein einfacheres und vollständiges System von Axiomen“ festzulegen hat.
- 20.
Hilbert hielt Über den Zahlbegriff zunächst am 19. September 1899 auf der Tagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung in München und publizierte ihn mit Datum vom 12. Oktober 1899 in den Jahresberichten der DMV; vgl. Hilbert, Zahlbegriff [1900b].
- 21.
Hilbert, Zahlbegriff [1900b], 181.
- 22.
Hilbert, Neubegründung [1922], 161.
- 23.
Frege, Briefwechsel [1976], 71.
- 24.
Frege, Briefwechsel [1976], 71.
- 25.
Vgl. Hilbert, Zahlbegriff [1900b], III, 300.
- 26.
Smorynski sieht hierin den deutlichsten Unterschied zwischen Euklid und Hilbert. Er qualifiziert Hilberts Axiomatik entsprechend als „streng durchgeführt“ und „vollständig“; vgl. Smorynski, Hilbert's Programme [1988].
- 27.
Die erhaltenen Teile dieses Briefwechsels sind veröffentlicht in Frege, Briefwechsel [1976], 58–80.
- 28.
Dies gilt sowohl für die relationalen Begriffe (die Axiome legen bspw. fest, wann ein A zwischen B und C liegt), als auch für die Begriffe, die überhaupt erst die betrachteten Objekte bestimmen (die Axiome legen bspw. auch fest, was Punkte im Verhältnis zu Geraden, Geraden im Verhältnis zu Ebenen usw. sind, resp.: welche Sätze ein „System von Dingen“ erfüllen muß, um als ein System von Punkten, Geraden und Ebenen zu gelten).
- 29.
Die Festsetzung der Bedeutung der Begriffe sei „Sache der Definitionen“; vgl. Frege, Briefwechsel [1976], 61.
- 30.
Frege, Briefwechsel [1976], 72.
- 31.
Frege, Briefwechsel [1976], 63.
- 32.
So hat es jedenfalls die klassische Definitionstheorie gesehen. Man kann eine solche Form zirkulärer Definitionen aber möglicherweise im Sinne eines Axiomensystems lesen und ihr so dennoch einen Sinn abgewinnen.
- 33.
Hilbert, Über das Unendliche [1926], 177.
- 34.
Frege, Briefwechsel [1976], 67.
- 35.
Frege, Briefwechsel [1976], 61.
- 36.
Hilbert spricht expressis verbis davon, daß die Axiome der Anordnung den Begriff „zwischen“ und die Axiome der Kongruenz den Begriff der Kongruenz definieren; vgl. Hilbert, Grundlagen Geometrie [1899], 4+11.
- 37.
Frege, Briefwechsel [1976], 72–75.
- 38.
Frege, Briefwechsel [1976], 66.
- 39.
In der Vorlesung vom Wintersemester 1920 sagt Hilbert von der Eliminationsregel für den Allquantor, daß durch sie „gewissermaßen der Sinn des Allzeichens bestimmt“ wird; vgl. Hilbert, Wintersemester 20 [1920*], 41.
- 40.
Unter „Vollständigkeit“ wurden im Lauf der Entwicklung der Mathematischen Logik sehr verschiedene Konzepte verstanden: Die Ableitbarkeit aller allgemeingültigen Sätze, die Nicht-Erweiterbarkeit der Axiomenmenge, die Ableitbarkeit aller in einer Struktur gültigen Sätze, die Ableitbarkeit aller Sätze eines vorgegebenen Systems und die vollständige Erfassung eines Wissensgebietes. Hier, in Hilberts Grundlagen der Geometrie, ist wohl letzteres gemeint.
- 41.
Frege hat in seinen Briefen Hilbert in diesem Punkt weniger kritisiert, als vielmehr sein Verständnis dafür geäußert, daß man, um axiomatische Fragen wie die nach der Unabhängigkeit verschiedener Axiome behandeln zu können, sich geradezu „auf einen höheren Standpunkt stellen“ müsse; vgl. Frege, Briefwechsel [1976], 64, auch 71.
- 42.
Vgl. Frege, Briefwechsel [1976], 73.
- 43.
Vgl. Frege, Briefwechsel [1976], 66.
- 44.
Vgl. Frege, Briefwechsel [1976], 74.
- 45.
Vgl. besonders seine Einschätzung, es könne im Bereich der euklidischen Geometrie keine Widersprüche geben, denn die Axiome seien ja wahr; Frege, Briefwechsel [1976], 71.
- 46.
Vgl. Hilbert, Zahlbegriff [1900b].
- 47.
Hilbert, Neubegründung [1922], 160.
- 48.
Zu dieser Identifikation von Strenge und logischem Schließen vgl. auch Hilbert, Mathematische Probleme [1900a], 257.
- 49.
Vgl. Hilbert, Neubegründung [1922], 161.
- 50.
So spricht z. B. Mostowski, Thirty Years [1966], 7, von der „inevitable arbitrariness of the axioms“ in Hilberts Ansatz.
- 51.
Vgl. Abschn. 3.4.2.
- 52.
Vgl. auch Hilberts Formulierung vom „freien Schalten“ im Frege-Briefwechsel; Frege, Briefwechsel [1976], 66.
- 53.
Vgl. Hilbert, Über das Unendliche [1926], 177.
- 54.
Hilbert, Neubegründung [1922], 175.
- 55.
Hilbert, Über das Unendliche [1926], 177.
- 56.
Hilbert, Neubegründung [1922], 160.
- 57.
So auch Peckhaus, Impliziert [2005b], 13: „Das axiomatische Verfahren beginnt inmitten der bestehenden, nicht-axiomatisierten Mathematik. […] Die Axiomatisierung kann somit als die Rekonstruktion eines Teils gegebener Mathematik angesehen werden und ist daher auch nicht vollkommen frei von dieser gegebenen Mathematik.“
- 58.
Vgl. Hilbert, Grundlagen Geometrie [1899], 1. – Mit dieser Formulierung verweist Hilbert natürlich auf Kant. Und so ist der Einleitung auch als Epigramm ein Zitat aus der Kritik der reinen Vernunft vorangestellt:
So fängt denn alle menschliche Erkenntnis mit Anschauungen an, geht von da zu Begriffen und endigt mit Ideen.(KrV, Elementarlehre, T. 2, Abt. 2)
- 59.
So im Briefwechsel mit Frege; Frege, Briefwechsel [1976], 67.
- 60.
Vgl. Frege, Briefwechsel [1976], 67.
- 61.
Vgl. Ewald/Sieg, Lectures [2013], 251.
- 62.
So bemerken auch Ewald/Sieg, Lectures [2013], 252.
- 63.
So Feferman, Gödel 1931c [1986], 208; vgl. Hilbert, Probleme Grundlegung [1929]. Hilbert stellt in seinem Vortrag auf dem Mathematikerkongreß 1928 in Bologna zwei Fragen nach Vollständigkeit, nämlich nach der semantischen Vollständigkeit der Prädikatenlogik und nach der syntaktischen Vollständigkeit der elementaren Zahlentheorie. Beide Fragen hat letztlich Gödel beantwortet, die erste durch seinen Vollständigkeitssatz positiv, die zweite durch den (ersten) Unvollständigkeitssatz negativ.
- 64.
Vgl. Hilbert, Neubegründung [1922], 169.
- 65.
Vgl. Hilbert, Zahlbegriff [1900b].
- 66.
Vgl. Hilbert, Neubegründung [1922], 160–161.
- 67.
Hilbert, Mathematische Probleme [1900a], 264.
- 68.
Vgl. Hilbert, Neubegründung [1922], 160.
- 69.
Vgl. z. B. Hilbert, Neubegründung [1922], 160.
- 70.
Hilbert, Grundlagen Geometrie [1899].
- 71.
Hilbert, Zahlbegriff [1900b].
- 72.
Hilbert, Mathematische Probleme [1900a]. Dieser Vortrag wurde mindestens dreimal veröffentlicht: 1.) in den Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse (1900), S. 253–297; 2.) im Archiv für Mathematik und Physik, 3. Reihe, 1 (1901), S. 44–63 u. S. 213–237; 3.) in den Gesammelten Abhandlungen Hilberts, Bd. 3, Berlin 1935, S. 290–329.
- 73.
Die Hilbertsche Liste ist rezeptionsgeschichtlich äußerst einflußreich geworden. Bis heute erscheinen regelmäßig mathematische Fachaufsätze, die schon in ihrem Titel auf das n. Problem Hilberts Bezug nehmen. Die Geschichte dieser Probleme ist also keineswegs abgeschlossen. Momentaufnahmen der geschichtlichen Entwicklung bieten beispielsweise Yandell, Honors class [2002]; Kaplansky, Hilbert's Problems [1977] und, leider nur in einer skandinavischen Sprache erschienen, Tornehave, Hilberts problemer [1980].
- 74.
Vgl. Sieg, Introduction WS 1921/22 + WS 1922/23 [2006a], 330–331.
- 75.
Vgl. hierzu im zweiten Teil Abschn. 9.2.2
- 76.
Siehe die Darstellung im zweiten Teil dieses Buches, Abschn. 9.2; vgl. auch Sieg, Introduction WS 1921/22 + WS 1922/23 [2006a], 330–331.
- 77.
Vgl. im zweiten Teil Abschn. 9.3
- 78.
Vgl. Hilbert, Neubegründung [1922], 170.
- 79.
Hilbert, Über das Unendliche [1926], 179.
- 80.
Daß diese Identifikation von Ungleichungen und (formal) negierten Gleichungen einer besonderen Erwähnung bedarf, hat auch Bernays so gesehen. Das geht z. B. aus seiner Bemerkung zum Axiom a + 1 ≠ 0 in der Vorlesung vom Wintersemester 1922/23 hervor, die Kneser in seiner Mitschrift durch „negierte Aussage!“ wiedergegeben hat.
- 81.
Ein noch trivialeres Beispiel wäre die Theorie, die nur die falschen Gleichungen n = m für voneinander verschiedene Zahlzeichen n und m impliziert. Diese Theorie ist nach der Standardsemantik inkorrekt, gestattet aber keine Ableitung von Widersprüchen, da jeweils das positive Glied fehlt.
- 82.
Zu Cantors Unterscheidung von konsistenten und nichtkonsistenten Vielheiten siehe z. B. Tapp, Kardinalität [2005], 54.
- 83.
So Hilbert auch gegenüber Frege; vgl. Frege, Briefwechsel [1976], 66.
- 84.
Vgl. Hilbert, Axiomatisches Denken [1918], 406; Ewald/Sieg, Lectures [2013], 265.
- 85.
Vgl. besonders den Brief von Frege an Hilbert v. 1.10.1895, Frege, Briefwechsel [1976], 58–59.
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Rights and permissions
Copyright information
© 2013 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
About this chapter
Cite this chapter
Tapp, C. (2013). Wurzeln: Axiomatik. In: An den Grenzen des Endlichen. Mathematik im Kontext. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-29654-3_3
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-29654-3_3
Published:
Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-642-29653-6
Online ISBN: 978-3-642-29654-3
eBook Packages: Life Science and Basic Disciplines (German Language)