Zusammenfassung
Die Philosophie hatte immer schon ein besonderes Interesse an der Mathematik. Wer die platonische Akademie betrat, sollte sich seiner mathematischen Kenntnisse sicher sein. Der epistemische Zugang zu mathematischen Objekten bildete für Platon das Vorbild, nach dem er sein Bild von Erkenntnis überhaupt strukturierte: Ideen leben in einem Reich reiner Formen und ihr Vergleich mit den Erfahrungen der Welt liefert bei Übereinstimmung wahre Erkenntnis.
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Notes
- 1.
Dieser Spruch soll über dem Eingang der platonischen Akademie angebracht gewesen sein. Vgl. z. B. die Überlieferung bei Johannes Philoponus, De Anima Kommentar [1897], 117 (26–27), der allerdings wörtlich „ἀγεομέτρος μὴ εἰσίτο“ hat. Die Übersetzung von „γεομέτρετος“ als „Mathematiker“ und nicht als „Geometer“ ist gerechtfertigt, weil Mathematik damals im Wesentlichen aus Geometrie bestand und umgekehrt der Ausdruck „μαϑηματική“ eher allgemein das Gewußte und weniger das spezifisch Mathematische meinte.
- 2.
Zu der hier starkgemachten Trennung zwischen Gewinnung einer neuen mathematischen Erkenntnis und ihrer Begründung vgl. auch Frege, Begriffsschrift [1879], III.
- 3.
Damit sind hier natürlich nicht explizite Voraussetzungen innerhalb einer mathematischen Behauptung gemeint, sondern den mathematischen Erkenntnissen äußerliche Bedingungen, die – in traditioneller philosophischer Terminologie gesprochen – mathematische Erkenntnisse als „bedingte Erkenntnisse“ qualifizieren würden.
- 4.
An diesem Phänomen ändert es auch nichts, daß der Platonismus unter den Mathematikphilosophen dauerhaft (nicht nur zur Zeit) schlechte Konjunktur hat; vgl. Link, Reductionism [2000], 178.
- 5.
Es soll hier nicht der Eindruck erweckt werden, daß nicht-platonische Positionen keine Probleme mit sich brächten. Neben inhaltlichen Problemen gibt es auch argumentative Schwächen, wie wenn bspw. behauptet wird, aus der Notwendigkeit eines kognitiven Aktes zur Bedeutungserschließung folge schon die Unmöglichkeit von geist-unabhängiger Existenz; so z. B. Peckhaus, Impliziert [2005b], 15.
- 6.
So betonen auch George/Velleman, Philosophies [2002], vi–vii, im Bezug auf Logizismus, Intuitionismus und Formalismus.
- 7.
Hilbert, Herbstsemester 19 [1919*], 117.
- 8.
Vgl. Reid, Hilbert [1970], 216.
- 9.
Vgl. Hilbert, Neubegründung [1922], 173. – Hier ist aber darauf hinzuweisen, daß Hilbert dies in Bezug auf die damals noch konstruktive, und das heißt insbesondere: negationsfreie Objekttheorie sagt und damit im Zusammenhang einer Ansicht, die er kurze Zeit später aufgegeben hat zugunsten einer Objekttheorie mit voller klassischer Logik; vgl. auch Hilbert, Die logischen Grundlagen [1923], 152, bes. Fn. 3.
- 10.
So auch Sieg, Hilbert's Programs [1999], 2.
- 11.
Die Zitate lauten im englischen Original: „Surprising internal dialectic progression (in an attempt to address broad philosophical issues)“, Sieg, Hilbert's Programs [1999], 2; „a depth […] of philosophical reflection that is remarkable“, Sieg, Hilbert's Programs [1999], 3.
- 12.
Zu diesem Engagement siehe vor allem Peckhaus, Hilbertprogramm [1990], 196–224.
- 13.
Zur großen Bedeutung von Emil du Bois-Reymond für die Debatte um die Grenzen der Naturwissenschaften im 19. Jahrhundert und zu seinem Einfluß auf Hilbert vgl. McCarty, Problems and Riddles [2005].
- 14.
Hilbert, Mathematische Probleme [1900a], 262.
- 15.
Vgl. das pointierte Ende von Hilberts 1930er Radioansprache, Reid, Hilbert [1970], Kap. 22; Rescher, Grenzen [1985], Kap. 8, S. 201ff.; Vinnikov, We Shall Know [1999]; außerdem Hilberts gleichlautende Grabinschrift.
- 16.
Hilbert, Mathematische Probleme [1900a], 262.
- 17.
Hilbert, Mathematische Probleme [1900a], 262.
- 18.
In Hilberts Sinne ist demnach Gödels Beweis, daß die Negation der Kontinuumshypothese in ZFC nicht beweisbar ist, eine Lösung des Kontinuumsproblems, oder genauer: eines bestimmten Kontinuumsproblems. Ein anderes Kontinuumsproblem löste Cohen mit seinem Beweis, daß auch die Kontinuumshypothese selbst nicht in ZFC beweisbar ist. – Da der „vorgeschriebene Weg“ und die „eingeschränkten Hilfsmittel“ mit zur Definition eines Problems gehören, umfaßt das, was man üblicherweise „das Kontinuumsproblem“ nennt, eigentlich eine ganze Palette verschiedener Probleme.
- 19.
Das Zitat lautet im englischen Original: „and the solution of this problem in the most general case, the proof that there can be no ignorabimus in mathematics, must also remain the final goal.“
- 20.
Hilbert, Über das Unendliche [1926], 180.
- 21.
Hilbert äußert sich so besonders in Hilbert, Über das Unendliche [1926], 161–162.
- 22.
Hilbert, Über das Unendliche [1926], 163.
- 23.
Hilbert, Über das Unendliche [1926], 164–165.
- 24.
Hilbert, Über das Unendliche [1926], 167.
- 25.
Cantor hat sich von den angeblichen Antinomien nicht beunruhigen lassen. In seinen Augen führten sie die Annahme ad absurdum, daß alle Totalitäten oder „Vielheiten“ auch Mengen sind. Wenn der Versuch, die Objekte einer Vielheit zu einer Einheit, einer neuen Menge zusammenzufassen, einen Widerspruch impliziert, so ist die Zusammenfassung eben nicht möglich und die Vielheit heißt inkonsistent. Nur wenn „das gleichzeitige Da-sein“ der Elemente „denkmöglich“ also widerspruchsfrei ist, heißt die Klasse konsistente Vielheit oder Menge. Cantors Sichtweise läßt sich problemlos mit der heutigen Terminologie von „echten Klassen“ vs. „Mengen“ rekonstruieren, in der die „Paradoxien“ zu relativ unspektakulären Beweisen dafür werden, daß die betrachteten Klassen, wie diejenigen aller Mengen, aller Kardinalzahlen oder aller Ordinalzahlen, echte Klassen sind.
- 26.
Hilbert, Über das Unendliche [1926], 162.
- 27.
Für die Ableitung eines solchen Widerspruchs vgl. etwa Gentzen, Widerspruchsfreiheit [1936a], 1–3, der allerdings für die Komprehensionsproblematik nicht sensibel genug ist und stattdessen eine platonistische „An-sich-Auffassung der Mengen“ für die Widersprüche verantwortlich macht. Dies ist unbegründet, weil Gentzens Argument davon abhängt, daß ein Ausdruck wie „die Menge aller Mengen“ eine Menge definiert, dies aber nicht durch die „An-sich-Auffassung“ abgedeckt wird. Die „An-sich-Auffassung“ verbürgt nur, daß sämtliche Mengen schon „erklärt“ oder „festgelegt“ sind, aber nicht, daß mit jedem Ausdruck auch eine Menge definiert wird.
- 28.
Vgl. etwa den Beginn von Hilberts Vorlesung aus dem Wintersemester 1922/23; Hilbert, Wintersemester 22/23 (Bernays) [1923a*].
- 29.
Hilbert, Über das Unendliche [1926], 170. – Daß die „beliebigen abstrakten Begriffsbildungen“ das Problem sind, ähnelt Cantors Analyse von der Unmöglichkeit, gewisse Vielheiten zu Einheiten zusammenzufassen (vgl. Anm. 25), sowie der hier Gentzen gegenüber vertretenen Analyse, das Problem in einem uneingeschränkten Komprehensionsprinzip zu sehen (vgl. Anm. 27).
- 30.
Hilbert, Über das Unendliche [1926], 170.
- 31.
Hilbert, Neubegründung [1922], 159–160, sic.
- 32.
Hilbert, Die logischen Grundlagen [1923], 151.
- 33.
Hilbert, Über das Unendliche [1926], 169.
- 34.
Hilbert, Neubegründung [1922], 160.
- 35.
Hilbert, Über das Unendliche [1926], 170.
- 36.
Hilbert, Neubegründung [1922], 160; Hilbert, Die logischen Grundlagen [1923], 151.
- 37.
Hilbert, Über das Unendliche [1926], 169.
- 38.
Hilbert, Neubegründung [1922], 160.
- 39.
Das Zitat lautet im englischen Original: „The attitude of most mathematicians, even today, is that, since the axioms are true and derivations preserve truth, consistency is obvious.“
- 40.
Später bezeichnete Hilbert diese „Gedankendinge“ als „gewisse außerlogische, konkrete Objekte“.
- 41.
Bernays, Philosophie der Mathematik [1930], 19.
- 42.
In der nach-Gödelschen Beweistheorie werden diese Axiomensysteme durch Kodierung jedoch selbst wieder zu „klassischen“ mathematischen Objekten. So wird etwa die Menge aller Beweise eines bestimmten Systems zu einer Menge von natürlichen Zahlen, die solche Beweise kodieren. Dies ist aber a) noch nicht die Sichtweise Hilberts und es sollte b) nicht zu schnell mit der eigentlichen Konzeption der Beweistheorie gleichgesetzt werden, für die der Status einer Metatheorie gegenüber den mathematischen Objekttheorien entscheidend ist.
- 43.
So auch Mostowski, Thirty Years [1966], 8.
- 44.
Cohen, Das Prinzip [1883], 41.
- 45.
Ratzinger, Einführung Christentum [1968], 8.
- 46.
Vgl. Smorynski, Hilbert's Programme [1988].
- 47.
Auf beide Kritikpunkte hat in aller Deutlichkeit Detlefsen, Alleged Refutation [1990] hingewiesen. Detlefsen konnte Smorynskis Interpretationsfehler sogar auf einen Punkt kondensieren, nämlich auf die Frage, worauf sich das „diese Aussage“ im zweiten Satz bezieht. Vom Text her legt sich nahe, es auf die im ersten Satz genannte Aussage zu beziehen, daß a + 1 = 1 + a ist, falls a ein Zahlzeichen ist. Smorynski hingegen hat es auf die mögliche oder hypothetische Negation dieser Aussage bezogen, die von Hilbert gerade abgelehnt wird. – Der Fairneß halber sollte man jedoch bemerken, daß es eine sehr frühe Stelle in Hilberts Publikationen gibt, die zumindest einen Anhaltspunkt für Smorynskis Position bieten könnte. In Hilberts Heidelberger Vortrag Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik von 1904 heißt es an einer Stelle, daß eine Allaussage ∀x A(x), die Hilbert dort als A(x (u)) schreibt, eine abkürzende Schreibweise sei für die unendliche Konjunktion A 1 u. A 2 u. A 3, …, vgl. Hilbert, Grundlagen Logik [1905], 252. Diese Stelle steht jedoch im Kontext von Hilberts „Bau der logischen Grundlagen des mathematischen Denkens“, der höchstens eine Vorstufe zum später entwickelten Konzept des Finitismus oder der ideal/real-Unterscheidung ist.
- 48.
Vgl. Goldfarb, Logic in the Twenties [1979]; Hilbert/Ackermann, Theoretische Logik [1928].
- 49.
Das ist auch gegen Peckhaus' Einschätzung zu sagen, daß Hilbert erst 1928 mit der Ausarbeitung des Hilbert-Ackermann „die logische Grundlage seines metamathematischen Programms gelegt“ habe; vgl. Peckhaus, Logik, Mathesis [1997], 3.
- 50.
Zu dieser Beeinflussung sachlicher Einschätzungen durch historische Fehleinschätzungen bei Goldfarb vgl. auch Sieg, Hilbert's Programs [1999], 12–13.
- 51.
Das Zitat lautet im englischen Original: „Unfortunately, we do not have a theory that tells us exactly what we are doing when we obtain the ordinal of a formal system, though it is clear that we are doing something of interest.“
- 52.
Diese Entwicklung bemerkten schon die Herausgeber von Hilberts Gesammelten Abhandlungen, die in Bezug auf den Aufsatz Neubegründung (im Original 1922 publiziert) vermerken, daß er einen Übergang aus einem früheren Stadium der Beweistheorie widerspiegeln würde; vgl. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen [1932], Bd. III, S. 168, Fn. 2. Eine solche Entwicklung gibt Hilbert selbst unumwunden zu; vgl. Hilbert, Grundlagen Mathematik [1928], 12.
- 53.
Dagegen geben etwa George/Velleman, Philosophies [2002], vii-viii, zu, daß sie nicht einmal durchgängig versucht haben, die von ihnen dargestellten Ideen historisch getreu darzustellen.
- 54.
Daß wissenschaftsphilosophische Arbeiten vielleicht generell Mischgebilde sind, formuliert auch Charpa, Grundprobleme [1996], 33, allerdings speziell im Hinblick auf das Verhältnis normativer und deskriptiver Anteile.
- 55.
Das Zitat lautet im englischen Original: „Works on the development and nature of mathematics should be a rich mixture of history, philosophy, and technical understanding.“
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Tapp, C. (2013). Einleitung. In: An den Grenzen des Endlichen. Mathematik im Kontext. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-29654-3_1
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