Zusammenfassung
Der harmonische Oszillator stellt eines der wichtigsten Systeme der Physik dar. Er tritt praktisch überall dort auf, wo es um Schwingungen geht – vom Fadenpendel bis zur Quantenfeldtheorie. Unter anderem liegt das daran, dass das parabolische Oszillatorpotenzial eine gute Näherung eines allgemeinen Potenzials V (x) darstellt, wenn wir kleine Schwingungen um eine stabile Gleichgewichtslage x 0 betrachten.
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- 1.
Auf Englisch heißt \(a\) übrigens annihilation operator und \(a^{{\dag}}\) creation operator. Diese und die entsprechenden deutschen Namen stammen weniger vom einfachen harmonischen Oszillator her, wie wir ihn hier behandeln, sondern aus der Quantenfeldtheorie. Dort beschreibt man mit den Leiteroperatoren die Erzeugung und Vernichtung von Photonen, Phononen und so weiter. Außerdem werden diese Operatoren in der Viel‐Teilchen‐Quantenmechanik eingesetzt. Aber auch bei allgemeinen eindimensionalen Potenzialen lassen sich verallgemeinerte Leiteroperatoren definieren; dies führt auf die Supersymmetrische Quantentheorie (siehe z. B. Schwabl I, S. 355ff. bzw. einschlägige Literatur).
- 2.
Im Dreidimensionalen heißt es \(\hbar\omega\left(n+\frac{3}{2}\right)\).
- 3.
Auch das ist beim Drehimpuls ganz ähnlich.
- 4.
Die Oszillatorlänge \(L\) gibt im Wesentlichen die Lage der klassischen Umkehrpunkte wieder, s. Aufgaben.
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Pade, J. (2012). Harmonischer Oszillator. In: Quantenmechanik zu Fuß 2. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-25314-0_4
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