Zusammenfassung
Wir haben im algebraischen Zugang zur QM schon recht früh den Begriff Wahrscheinlichkeit eingeführt. Nun wollen wir dieses Konzept auch im analytischen Zugang ausbauen, natürlich auch mit dem Ziel, beide Zugänge immer enger zu verknüpfen. Das Problem dabei: Im algebraischen Zugang ergeben sich Wahrscheinlichkeiten gewissermaßen natürlich (durch die plausible Umdefinition Intensität → Wahrscheinlichkeit). Die SGl jedoch ist deterministisch: Die Angabe eines Anfangszustands bestimmt die Zeitentwicklung eindeutig für alle Zeiten und bietet keinen Platz für Zufall.
Wahrscheinlichkeiten können also nicht durch die SGl selbst ins Spiel kommen, sondern nur über die Wellenfunktion Ψ (x,t). Wie wir es schon in Kap. 5 versuchsweise getan haben, lässt sich nämlich das Betragsquadrat von Ψ (x,t) als (Aufenthalts-)Wahrscheinlichkeitsdichte auffassen, die man üblicherweise mit dem Buchstaben ρ bezeichnet:
Diese Interpretation von p als Wahrscheinlichkeitsdichte ist überhaupt nicht selbstverständlich, und es hat in der Frühzeit der QM auch etwas gedauert, bis von Max Born dieser Zusammenhang gefunden wurde. Es ist an dieser Stelle eine Setzung oder Vermutung, die sich bewähren und zu in sich kohärenten Ergebnissen und Folgerungen führen muss und dies natürlich auch tut.
Wir werden dieses Konzept im Folgenden etwas ausarbeiten und seine Konsequenzen besprechen.
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Notes
- 1.
Aus der Wahrscheinlichkeitsdichte \(\rho\) ergibt sich durch Integration die Wahrscheinlichkeit \(w\) über \(w=\int\!\rho\,\mathrm{d}V\), ganz analog, wie sich über \(m=\int\!\rho\,\mathrm{d}V\) aus der Massendichte \(\rho\) die Masse \(m\) ergibt.
- 2.
Besonders wenn man mit Laien über Wahrscheinlichkeiten in der QM spricht, sollte man sich immer vor Augen halten, dass es sich hier um ein begrifflich schwieriges Konzept handelt. Einerseits gibt es da die Wellenfunktion mit ihrer ganzen Unanschaulichkeit. Andererseits werden nun gerade aus dieser Größe, die nicht in vertrauten Begriffen fassbar ist, konkrete Wahrscheinlichkeiten konstruiert. Das Wieso und Warum ist auf keinen Fall intuitiv klar und in Alltagsbegriffen nicht überzeugend zu formulieren.
- 3.
Die Geschwindigkeit zwischen den Umkehrpunkten ist konstant.
- 4.
Dass wir dies tatsächlich als Wahrscheinlichkeit auffassen können, zeigt die allgemeine Definition: Ein Wahrscheinlichkeitsmaß \(\mu\) auf \(\mathbb{R}\) ist eine Abbildung \(\mu\) von der Menge der Intervalle (die hier durch die Integrationsintervalle gegeben sind) in das Einheitsintervall \(\left[0,1\right]\), die folgende Bedingungen erfüllt: 1) \(\mu(I)=1\geq 0\) für alle Intervalle \(I\) (positiv definit); 2) \(\mu(\mathbb{R})=1\) (normiert); 3) \(\mu\left(I_{{1}}\cup I_{{2}}\right)=\mu(I_{{1}})+\mu(I_{{2}})\) für alle paarweise disjunkten Intervalle \(I_{{1}}\) und \(I_{{2}}\) (Additivitätsbedingung bzw. \(\sigma\)-Additivität).
- 5.
Die Wellenfunktion selbst bleibt unanschaulich – eben ein komplexwertiges Möglichkeitsfeld, wie weiter oben schon angeführt.
- 6.
Da der Sachverhalt eindeutig ist, lässt man häufig das ‚Aufenthalts-‘ weg und begnügt sich mit dem kürzeren Wort ‚Wahrscheinlichkeitsdichte‘. Wir werden das im Weiteren größtenteils auch so halten.
- 7.
Wer mag, kann als konkretes Beispiel an ein Quantenobjekt im unendlich hohen Potenzialtopf denken.
- 8.
Der Zustand muss auch nach der Messung normiert sein, was sich im Faktor \(\frac{c_{{l}}}{\left|c_{{l}}\right|}\) äußert.
- 9.
Wieder gilt: Der genaue Prozess der Messung selbst wird nicht beschrieben.
- 10.
Diesen Zustand können wir als Anfangszustand für eine neue Periode freier Ausbreitung auffassen, wobei wir dann diesen Prozess als (Zustands-)Präparation bezeichnen.
- 11.
Wir gehen davon aus, dass weder Erzeugungs- noch Vernichtungsprozesse in der Bilanz auftauchen.
- 12.
Im dreidimensionalen Fall lautet die Bedingung etwas anders. Dort ist wegen \(\int\,\mathrm{d}V=\int r^{{2}}\,\mathrm{d}r\sin\vartheta\,\,\mathrm{d}\vartheta\,\,\mathrm{d}\varphi\) erforderlich, dass die Wellenfunktion wie \(r^{{\alpha}}\) mit \(\alpha<-\frac{3}{2}\) verschwindet.
- 13.
Mit dem in späteren Kapiteln hergeleiteten erweiterten Begriffsapparat können wir den Beweis um einiges kürzer führen.
- 14.
Wir setzen wie immer Vertauschbarkeit von Differenziation und Integration voraus. Mehr dazu in Anhang D (Band 1) ‚Aus der Analysis 1‘.
- 15.
Hier darf das Potenzial ruhig von der Zeit \(t\) abhängen.
- 16.
Komplexe Potenziale verwendet man, wenn man z. B. Absorptionsprozesse beschreiben will. Man nennt diese Potenziale auch optische Potenziale (in Anlehnung an den komplexen optischen Brechungsindex, dessen Imaginärteil Absorption beschreibt). Ein Beispiel findet sich in den Aufgaben.
- 17.
Auch Wahrscheinlichkeitsdichtestrom genannt.
- 18.
Die Herleitung der Kontinuitätsgleichung findet sich in Anhang N (Band 1).
- 19.
Eigentlich könnte rechts noch eine Integrationskonstante stehen; sie wird aber gleich null gesetzt wegen der Forderung \(j=0\) für \(\Psi=0\).
- 20.
Unphysikalisch, weil eben die unendlich ausgedehnte ebene Welle, deren Betrag überall eins ist, kein physikalisches Objekt darstellt. Dass wir in der QM mit ebenen Wellen rechnen können, liegt an der Linearität der QM, die es gestattet, aus ebenen Wellen Wellenpakete zusammenzusetzen, die physikalisch vernünftiges Verhalten zeigen.
- 21.
Im Übrigen ist ‚Geschwindigkeit‘ eines Quantenobjekts ein in der QM so gut wie nie verwendeter Begriff. Zentrale Größe ist der Impuls. Nur bei Überlegungen im Zusammenhang mit der Galileitransformation (Relativbewegung von Inertialsystemen, Kap. 21 (Band 2)) und der an die KlM angelehnten Bohmschen Interpretation der QM (siehe Kap. 28 (Band 2)) wird der Begriff noch einmal auftauchen.
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Pade, J. (2012). Aufenthaltswahrscheinlichkeit. In: Quantenmechanik zu Fuß 1. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-25227-3_7
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