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Mathematische Grundlagen der Tensoralgebra und Tensoranalysis

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Kontinuumsmechanik

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Zusammenfassung

Die in der Kontinuumsmechanik betrachteten Größen sind Skalare, Vektoren und Tensoren, oder allgemeiner Tensoren nter Stufe mit n > 0. Um die Einarbeitung in die Grundlagen der Kontinuumsmechanik zu erleichtern, werden nachfolgend nur kartesische Tensoren verwendet. Damit entfällt u. a. eine Unterscheidung von ko- und kontravarianten Basissystemen und von unteren und oberen Indizes. Gleichzeitig wird der Blick für das Wesentliche geschärft.

Viele Gleichungen lassen sich besonders übersichtlich in symbolischer Schreibweise formulieren. Für die Durchführung von Tensoroperationen ist aber oft eine Darstellung mit Basisvektoren oder eine verkürzte Indexschreibweise zweckmäßig. Die unterschiedlichen Schreibweisen werden zum besseren Verständnis der Gleichungen häufig parallel verwendet.

Abschnitt 2.1 fasst die wichtigsten Bezeichnungen, Definitionen und Rechenregeln zusammen. In den Abschn. 2.2 und 2.3 folgen die Grundlagen der Tensoralgebra und -analysis. Tensorfunktionen werden in Abschn. 2.4 behandelt. Weiterführende Literatur ist u. a. mit [3–5, 7–13, 15, 17, 19, 20] gegeben. In Analogie zu diesem Lehrbuch sind in den Büchern [3, 4, 8, 9] durchgerechneteBeispiele zu finden.

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Notes

  1. 1.

    Albert Einstein (1879-1955), Physiker und Nobelpreisträger, bedeutende Beiträge zur Relativitätstheorie und zum photoelektrischen Effekt

  2. 2.

    Im verallgemeinerten Sinn ist die Summation bis zur Anzahl der Dimensionen des Raums auszuführen.

  3. 3.

    Leopold Kronecker (1823–1891), Mathematiker, Beiträge zur Algebra und Zahlentheorie

  4. 4.

    Tullio Levi-Civita (1873–1941), Mathematiker, Beiträge zur Tensoralgebra

  5. 5.

    Für die Norm wird auch \(||\ldots||\) als Symbol verwendet.

  6. 6.

    Man findet hierfür auch den Begriff Pseudovektor.

  7. 7.

    Die hier angeführte Rechenregel wird teilweise von anderen Autoren wie folgt angegeben

    $$\vec{A}\vec{\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\cdot}}\vec{B}=\vec{a}\vec{b}\vec{\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\cdot}}\vec{c}\vec{d}=\vec{a}\boldsymbol{\cdot}\vec{c}\vec{b}\boldsymbol{\cdot}\vec{d}=\beta\;,$$

    was allgemein zu abweichenden Endergebnissen führt (s. Lösung 2.6 im Abschn. 2.5 am Ende dieses Kapitels).

  8. 8.

    Hierbei steht Sp für Spur und tr für den analogen englischen Begriff trace.

  9. 9.

    Der Begriff Kugeltensor ergibt sich aus der geometrischen Interpretation eines Tensors zweiter Stufe als Fläche im Raum. Der Kugeltensor stellt eine Kugeloberfläche dar. Er wird auch als Axiator bezeichnet.

  10. 10.

    Es gelten vielfach auch folgende Bezeichnungen \(\vec{\nabla}(\ldots)\) \(\equiv\) \(\,\mathrm{grad}\,\) für Gradient, \(\vec{\nabla}\boldsymbol{\cdot}(\ldots)\) \(\equiv\) \(\,\mathrm{div}\,\) für Divergenz und \(\vec{\nabla}\times(\ldots)\) \(\equiv\) rot (auch curl) für die Rotation. Nachfolgend wird die Nabla-Symbolik bevorzugt, wobei der Nabla-Operator wie ein Vektor behandelt wird.

  11. 11.

    Das Zeichen für den Nabla-Operator geht auf Peter Guthrie Tait (1831–1901), Mathematiker, zurück.

  12. 12.

    Johann Carl Friedrich Gauß (1777–1855), Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Magnetismus

  13. 13.

    George Green (1793–1841), Mathematiker und Physiker, Potentialtheorie, Elektromagnetismus

  14. 14.

    Michael Wassiljewitsch Ostrogradski (1801–1861), Mathematiker, Mathematische Physik

  15. 15.

    Sir George Gabriel Stokes (1819–1903), Mathematiker und Physiker, Hydrodynamik

Literaturverzeichnis

  1. Altenbach H, Zhilin PA (2004) The theory of simple elastic shells. In: Kienzler R, Altenbach H, Ott I (Hrsg.) Critical Review of the Theories of Plates and Shells, Lect. Notes Appl. Comp. Mech., Bd. 16, Springer, Berlin, pp 1–12

    Google Scholar 

  2. Antman SS (2005) Nonlinear Problems of Elasticity, Applied Mathematical Sciences, Bd. 107, 2. Aufl. Springer Science+Business Media, New York

    Google Scholar 

  3. Betten J (1987) Tensorrechnung für Ingenieure. Teubner, Stuttgart

    Google Scholar 

  4. de Boer R (1982) Vektor- und Tensorrechnung für Ingenieure. Springer, Berlin

    Google Scholar 

  5. Bourne DE, Kendall PC (1988) Vektoranalysis. Teubner, Stuttgart

    Google Scholar 

  6. Giesekus H (1994) Phänomenologische Rheologie: eine Einführung. Springer, Berlin

    Google Scholar 

  7. Itskov M (2009) Tensoralgebra and Tensor Analysis for Engineers, 2. Aufl. Springer, Berlin

    Google Scholar 

  8. Klingbeil E (1989) Tensorrechnung für Ingenieure. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim

    Google Scholar 

  9. Lai WM, Rubin D, Krempl E (2010) Introduction to Continuum Mechanics, 4. Aufl. Butterworth-Heinemann, Amsterdam

    Google Scholar 

  10. Lebedev LP, Cloud MJ, Eremeyev VA (2010) Tensor Analysis with Applications in Mechanics. World Scientific, New Jersey

    Google Scholar 

  11. Lippmann H (1993) Angewandte Tensorrechnung. Springer, Berlin

    Google Scholar 

  12. Lurie AI (1990) Nonliner Theory of Elasticity. North-Holland, Amsterdam

    Google Scholar 

  13. Lurie AI (2005) Theory of Elasticity. Foundations of Engineering Mechanics, Springer, Berlin

    Google Scholar 

  14. Palmov VA (1998) Vibrations of Elasto-plastic Bodies. Foundations of Engineering Mechanics, Springer, Berlin

    Google Scholar 

  15. Palmov VA (2008) Elemente der Tensoralgebra und Tensoranalysis (in Russ.). Verlag der Polytechnischen Universität, St. Petersburg

    Google Scholar 

  16. Rivlin RS (1948) Large elastic deformation of isotropic materials. IV. Further developments of the general theory. Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A Mathematical and Physical Sciences 241(835):379–397

    Google Scholar 

  17. Segel LA (1987) Mathematics Applied to Continuum Mechanics. Dover, New York

    Google Scholar 

  18. Truesdell C, Noll W (2004) The Non-linear Field Theories of Mechanics, 3. Aufl. Springer, Berlin

    Google Scholar 

  19. Willner K (2003) Kontinuums- und Kontaktmechanik: Synthetische und analytische Darstellung. Springer, Berlin

    Google Scholar 

  20. Zhilin PA (2001) Vektoren und Tensoren 2. Stufe im dreidimensionalen Raum (in Russ.). Nestror, St. Petersburg

    Google Scholar 

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  1. Holm Altenbach Prof. Dr.-Ing. habil. Dr. h. c.

    Present address: , Lehrstuhl für Technische Mechanik, Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, Universitätsplatz 2, 39106, Magdeburg, Deutschland

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    1. Holm Altenbach Prof. Dr.-Ing. habil. Dr. h. c.
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    © 2012 Springer-VerlagBerlin Heidelberg

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    Altenbach, H. (2012). Mathematische Grundlagen der Tensoralgebra und Tensoranalysis. In: Kontinuumsmechanik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-24119-2_2

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