Berechnung des Lebesgue–Integrals

Zusammenfassung

Nachdem das Lebesgue–Integral auf der Grundlage eines Maßes konstruiert ist, betrachten wir nun auch Maße, die durch Integrale dargestellt werden können. Ausgangspunkt ist die Beobachtung, dass man zu jeder positiven messbaren Funktion durch Integration ein Maß erhält, das als unbestimmtes Integral bezeichnet wird (Abschnitt 9.1) und auf den Begriff eines Maßes mit Dichte führt. Maße mit Dichte spielen in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine zentrale Rolle. Sie sind aber auch in der allgemeinen Integrationstheorie von Interesse, da die Berechnung eines Integrals nach einem Maß mit Dichte sich in vielen Fällen durch die Kettenregel vereinfachen lässt (Abschnitt 9.2). Schließlich liefert der Satz von Radon/Nikodym eine Bedingung dafür, dass ein Maß eine Dichte bezüglich einem anderen Maß besitzt (Abschnitt 9.3).