Erster Abschnitt. Die Additions-, Multiplikations- und Divisionssätze der elliptischen Funktionen. Erstes Kapitel. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen

Zusammenfassung

Eine vorläufige Betrachtung der Additionssätze der Funktionen erster Stufe wurde schon in I, 202ff. durchgeführt. Es sei insbesondere an die daselbst S. 204 entwickelte Auffassung erinnert, nach welcher die Additionsformeln für ℘ und ℘′:

$$\begin{array}{rcl}\wp (u + v) &=& R_1 \left(\wp(u), \wp'(u), \wp(v), \wp'(v)\right)\\\wp'(u + v) &=& R_2 \left(\wp(u), \wp'(u), \wp(v), \wp'(v)\right)\end{array}$$

eine algebraische Darstellung der kontinuierlichen Gruppe zweifach unendlich vieler Transformationen der Riemannschen Fläche F ₂ in sich lieferten. Funktionentheoretisch ist die Existenz zweier Gleichungen der angegebenen Gestalt für ℘(u+v) und ℘′(u+v) leicht einzusehen. Es ist z. B. ℘(u+v) als Funktion von u doppeltperiodisch mit den Perioden ω ₁, ω ₂ und läßt sich also nach den Sätzen von I, 198 als rationale Funktion von ℘(u), ℘′(u) darstellen. Weierstraß hat in seinen Vorlesungen die Existenz eines Additionstheorems sogar an die Spitze der ganzen Entwicklung gestellt und teilt den Satz mit, daß die Existenz eines solchen Theorems eine charakteristische Eigenschaft der elliptischen Funktionen und ihrer Ausartungen sei. Als Eingang in die Entwicklung der Additionssätze wählen wir eine gleichfalls von Weierstraß aufgestellte dreigliedrige Sigmarelation, aus welcher im wesentlichen nur noch durch das Mittel analytischer Umformungen die Hauptformeln der Additionssätze gewonnen werden sollen.