Die formalen Methoden der Elektrostatik

Zusammenfassung

Zunächst geht es hier um die mathematischen Voraussetzungen, insbesondere um die Koordinatentransformation und um die Vektoranalysis für krummlinige orthogonale Koordinaten. Die Operatoren der Vektoranalysis (grad, div, rot, Laplaceoperator) für kartesische Koordinaten,Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten werden explizit abgeleitet. Einer Diskussion der Poissonschen und der Laplaceschen Gleichung und ihrer Eigenschaften ("Potentialtheorie", Eindeutigkeit der Lösungen, Greensche Integralsätze, Kirchhoffscher Integralsatz) folgt die Behandlung von Randwertproblemen derElektrostatik mit Hilfe der Separationsmethode für kartesische Probleme, Zylinderprobleme und Kugelprobleme. Das führt automatisch zur Entwicklung der Lösungen in Form von Fourier-Reihen, Fourier-integralen (Fourier-Transformationen), Fourier-Bessel-Reihen, Hankel-Integralen (Hankel-Transformationen), Entwicklungen nach Kugelfunktionen (Legendreschen Polynomen) und zugeordneten Kugelfunktionen. Anschließend werden Vielleitersysteme und das Reziprozitätstheorem erörtert. Schließlich wird neben dem Potential auch die Stromfunktion eingeführt, was die Definition komplexer Potentiale in Form von analytischen Funktionen im Sinne der Funktionentheorie erlaubt. Damit können dann "ebene" elektrostatische Probleme durch konforme Abbildungen gelöst werden.