Les Invariants DiffÉRentiels dans La ThÉOrie des Fonctions de Plusieurs Variables Complexes

Abstract

Dans la théorie classique des fonctions analytiques les invariants différentials furent intoduits pour la première fois par H.A.Schwarz en résolvant le problème de représenter conformé-ment soit un polygone ou un domaine limité par des arcs de cercles. En employant soit 1'invariant $\frac{{{\rm W\prime\prime}}}{{{\rm W\prime}}}$ Par rapport au groupe. ζ = az + b, ou la dérivée de SCHWTARZ {w,z}, invariant du groupe $\zeta= \frac{{{\rm az+b}}}{{{\rm cz+d}}}$ et en en l'égalant à une fonction rationelle proprement choisie il parvient à trouver la fonction qui effectue la représentation cherchée.

Dans la théorie des représentations holomorphes définies dans un domaine de l'espace Cⁿ de n (≥2) variables complexes la situation est radicalement altérée. II ne sera guère possible de caractériscr une olasse de domaines du Cⁿ qui se laissent représenter holomorphiquement sur un domaine donné et il sera encore plus difficile sinon impossible d'en trouver un sous-ensemble raisonnable et suffisamment étendu de domaines dont la frontière permet une simple description geométrique. De plus il faut rappelcr que deux opérations jouent un rôle essentiel dans ce problème classique qui ne permettent pas de généralisation convenable pour être employées dans Ie même sens; c'est le principe de syneétrie de SCHWARZ et la représentation des coins angulaires. Le principe de symétrie, il est vrai? existe dans le Cⁿ aussi, mais par rapport à des variétés de dimension (réelle) n (et non pas 2n − 1), ne contenant pas des surfaces F² analytiques (“courbes complexes”). Et en outre le problème de réduire les angles spatiaux par représentation analytique à quelques peu de types n'est pas à résoudre sauf seulement dans quelques cas tout triviaux. Si l'on exige que pour un m fixe,2 ≤ m ≤ 2 n−1, chaque E^m linéaire (de dimension réelle m) par () soit représcnté sur un E^m pareil, la représentation se réduit à une transformation linéaire et il suffit de supposer quo cette hypothèse tienne seulement dans un angle spatial arbitralrement petit.