Nicht-Euklidische Geometrie und ihre Geschichte

Zusammenfassung

Durch einen Punkt in der Ebene, welcher nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, gibt es eine und nur eine dazu parallele Gerade. Diese (vielleicht offensichtlich erscheinende) Aussage ist eine Formulierung des sogenannten Parallelenpostulats der Ebenen Geometrie. In diesem Kapitel geht es um den axiomatischen Aufbau einer mathematischen Theorie, welchen in der Geometrie erstmals Euklid eingeführt hat: Aus wenigen (offensichtlich richtigen oder als richtig akzeptierten) Grundtatsachen werden weitere Eigenschaften und Beziehungen hergeleitet. Der Versuch, das Parallelenpostulat aus den „einfacheren” von Euklids Axiomen zu beweisen, hat Mathematiker jahrhundertelang vor unlösbare Probleme gestellt, bis man auf die Idee kam, die Beweisversuche aufzugeben und Modelle für Geometrien zu konstruieren, die nicht dem Parallelenpostulat genügen. So entstand die Nicht-Euklidische Geometrie. Inzwischen haben diese „seltsamen” Geometrien auch zahlreiche Anwendungen z. B. in der Physik gefunden.