Einige Matrizengruppen

Es gab bisher zwei Kapitel, die sich speziell mit geometrischen Operationen befasst haben, bei denen Kreise eine besondere Rolle spielten. In Kapitel 6 haben wir die projektiven Transformationen in $\cal{CP}^1$ (die Möbius- Transformationen) betrachtet und festgestellt, dass diese Kreise und Geraden wieder in Kreise und Geraden überführen. Im vorangegangenen Kapitel haben wir uns speziell mit Kreisgeometrie beschäftigt und festgestellt, dass sich im Kontext von Lie-Koordinaten Kreise, Geraden und Punkte in vereinheitlichter Weise studieren lassen. Nun wollen wir uns daran machen, den Zusammenhang zwischen diesen beiden Auffassungen von Geometrie näher zu beleuchten. Ein besonderer Reiz entsteht hierbei dadurch, dass in CP1 die Koordinaten komplex sind, wohingegen sie in der Lie Geometrie rein reell, aber dafür höherdimensional sind.