Ein Fünf-Farben-Satz

Zusammenfassung

Ebene Graphen und ihre Färbungen sind seit den Anfängen der Graphentheorie ein Gegenstand intensiver Forschungen gewesen, hauptsächlich wegen ihrer Beziehung zum Vier-Farben-Problem. In seiner ursprünglichen Formulierung fragte das Vier-Farben-Problem, ob es immer möglich ist, die Gebiete einer ebenen Karte so mit vier Farben zu färben, dass Gebiete mit einer gemeinsamen Grenze (und nicht nur einem Grenzpunkt) immer verschiedene Farben erhalten. Die Zeichnung zur Rechten zeigt, dass das Färben der Gebiete wirklich dieselbe Aufgabe ist wie das Färben der Ecken eines ebenen Graphen. Wie in Kapitel 12 (Seite 83) platzieren wir dafür einen Punkt ins Innere jedes Gebietes (inklusive des äußeren Gebietes), und wenn zwei Gebiete ein Stück Grenze gemeinsam haben, dann verbinden wir die entsprechenden Ecken durch eine Kante, die die gemeinsame Grenze überquert.