Zusammenfassung
Im Nachklang zu Bertrands Postulat wollen wir jetzt ein sehr schönes Resultat über Binomialkoeffizienten besprechen. Im Jahr 1892 verschärfte Sylvester das Bertrandsche Postulat auf die folgende Weise:
Ist n ≥ 2k, so hat mindestens eine der Zahlen n, n − 1, . . . , n − k + 1 einen Primteiler p, der größer als k ist.
Man beachte, dass dies für n = 2k genau das Bertrandsche Postulat ergibt. Erdős gab 1934 einen kurzen und elementaren Beweis des Satzes von Sylvester, der auch aus dem BUCH stammt und auf ähnlichen Überlegungen wie im letzten Kapitel beruht.
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Literatur
P. Erdős: A theorem of Sylvester and Schur, J. London Math. Soc. 9 (1934), 282-288.
P. Erdős: On a diophantine equation, J. London Math. Soc. 26 (1951), 176-178.
J. J. Sylvester: On arithmetical series, Messenger of Math. 21 (1892), 1-19, 87-120; Collected Mathematical Papers Vol. 4, 1912, 687-731.
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Ziegler, G., Aigner, M. (2010). Binomialkoeffizienten sind (fast) nie Potenzen. In: Das BUCH der Beweise. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-02259-3_3
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