Algebraische Funktionen

Im Zentrum dieses Kapitels steht die Aufgabe, alle L¨osungen einer polynomialen Gleichung P (z, w) = 0 mit komplexen Koeffizienten durch analytische Funktionen w = f(z) zu einer algebraischen Funktion zusammenzufassen. Im Bericht [BN 2] von Brill und Noether aus dem Jahre 1894 heißt es dazu: “Um f¨ur die Functionszweige einer algebraischen Function einen geometrischen Ort zu beschreiben, in welchem sie eindeutig verl¨auft, wird eine ¨uber der imagin¨aren Ebene n-bl¨attrig ausgebreitete Riemannsche Fl¨ache ben¨otigt”. Wie selbstverst¨andlich erstreckt bereits Riemann die Ausbreitung auch uber ¨den unendlich fernen Punkt der Zahlenkugel $\hat{\mathbb C}$. Durch eine sorgf¨altige Betrachtung von Windungspunkten ber¨ucksichtigt er die M¨oglichkeit, daß das Polynom P (z, w) f¨ur gewisse Stellen z mehrfache Wurzeln besitzt