Stammfunktionen

Zusammenfassung

Die Ableitung einer Funktion y = F(x) beschreibt deren lokale Änderungsrate, also die Änderung Δy des y-Werts bezogen auf die Änderung Δx des x-Werts im Grenzübergang Δx → 0, genauer

$$ f(x)=F'(x)= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x} $$

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Umgekehrt führt die Frage nach der Rekonstruktion einer Funktion aus ihrer lokalen Änderungsrate auf den Begriff des unbestimmten Integrals, welches die Gesamtheit aller Funktionen bezeichnet, die f als Ableitung besitzen, die Stammfunktionen von f. Kap. 10 wendet sich diesem Begriff, seinen Eigenschaften, einigen grundlegenden Beispielen und Anwendungen zu. Multipliziert man die Änderungsrate f mit der Änderung Δx, so erhält man eine Näherung an die Änderung der Funktionswerte der Stammfunktion F über dem Teilstück der Länge Δx:

$$ \Delta y =F(x+\Delta x) - F(x) \approx f(x)\Delta x $$

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Summiert man diese lokalen Änderungen über ein Intervall, etwa zwischen x = a und x = v in Schritten der Länge Δx, so erhält man eine Näherung an die Gesamtänderung F(b) − F(a). Der Grenzübergang Δx → 0 (unter entsprechender Erhöhung der Summandenzahl) führt auf den Begriff des bestimmten Integrals von f über dem Intervall [a, b], der Gegenstand von Kap. 11 ist.