Zusammenfassung
In Kap. 2 haben wir zwei Möglichkeiten kennen gelernt, die Bewegungsdifferentialgleichungen von Systemen mit mehr als einem Freiheitsgrad aufzustellen. Diese Gleichungen wollen wir jetzt lösen.Wie in Kap. 1 wollen wir uns zunächst mit freien Schwingungen, d. h. mit der Schwingungsantwort des homogenen Systems bei vorgegebenen Anfangsauslenkungen und Anfangsgeschwindigkeiten beschäftigen, wozu wir uns wieder die Eigenwerte, d. h. die Eigenfrequenzen und die Dämpfungsbzw. Anfachungsbeiwerte sowie die Eigenschwingungsformen beschaffen müssen (Abschn. 3.1).
Bei der Behandlung von erzwungenen Schwingungen werden wir in diesem Kapitel stets das gekoppelte System von Bewegungsdifferentialgleichungen zugrunde legen. Beschränkt man sich auf periodisch erzwungene Schwingungen, liegt die Behandlung im Frequenzbereich nahe, wobei zu jeder Erregerfrequenz Amplitudenund Phasenlage ermittelt werden (Abschn. 3.2). Interessiert man sich hingegen für die Systemantwort bei beliebiger, transienter Erregung, so empfiehlt sich eine Behandlung im Zeitbereich (Abschn. 3.3).
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Notes
- 1.
Soweit im Folgenden nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird, nehmen wir an, dass alle Eigenwerte verschieden sind.
- 2.
Diese Darstellung gilt für Systeme mit beliebig vielen Freiheitsgraden, vorausgesetzt, dass nur imaginäre Eigenwerte \(\pm\i\omega _{k}\) (oszillierende Teillösungen) auftreten. Im theoretisch denkbaren Fall (vgl. weiter unten), dass auch reelle Eigenwerte \(\pm\alpha _{k}\) oder Null-Eigenwerte vorhanden sind, ist die Darstellung der Fundamentalmatrix erheblich komplizierter, sodass auf ihre Angabe verzichtet wird. Wenn die im Folgenden in diesem Kapitel angegebenen Formeln nur für oszillierende Teillösungen gelten, dann wird die Zahl der Freiheitsgrade mit \(K\) gekennzeichnet, im Allgemeinen Fall hingegen mit \(N\).
- 3.
Wir nehmen, wie (2.51) an, dass die Massenmatrix stets eigentlich positiv definit ist, d. h., dass jeder Freiheitsgrad mit Masse belegt ist.
- 4.
Bei etwas größeren Matrizen muss man natürlich auf numerische Verfahren zur Eigenwertberechnung zurückgreifen, vergleiche Abschn. 8.3.
- 5.
Eigenwertprogramme, die man bei größeren Systemen einsetzen wird, liefern vielfach auch gleich die Eigenvektoren.
- 6.
Da wir oszillierende Teillösungen voraussetzen, bezeichnen wir die Zahl der Freiheitsgrade vereinbarungsgemäß mit \(K\).
- 7.
Das proportional gedämpfte System, das wir im nächsten Kapitel kennen lernen werden, verhält sich phasenrein wie das ungedämpfte System.
- 8.
- 9.
Praktisch löst man ein lineares Gleichungssystem mit den Spanten von \(\mathbf{D}\), \(\mathbf{S}\) und \(\tilde{\vec{p}}\) als rechter Seite.
- 10.
Nebenbei: da die obere Zeile die zeitliche Ableitung der untern ist, gilt: \(\tilde{\boldsymbol{\Upphi}}_{{11}}=\dot{\tilde{\boldsymbol{\Upphi}}}_{{21}}\) und \(\tilde{\boldsymbol{\Upphi}}_{{12}}=\dot{\tilde{\boldsymbol{\Upphi}}}_{{22}}\).
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Gasch, R., Knothe, K., Liebich, R. (2012). Freie und erzwungene Schwingungen von Zwei- und Mehr- Freiheitsgradsystemen – Behandlung als gekoppeltes System. In: Strukturdynamik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-540-88977-9_3
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