Stetige Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel betrachten wir stetige reellwertige Funktionen auf Teilmengen der reellen Achse ℝ. Zunächst untersuchen wir, was Stetigkeit bedeutet, und auf welche Weise eine Funktion überhaupt unstetig sein kann. Funktionen mit besonderem Stetigkeitsverhalten sind monotone Funktionen und, etwas allgemeiner, Funktionen beschränkter Variation, denen wir uns im zweiten Abschnitt widmen. Anschließend zeigen wir, dass man sehr viel mehr sagen kann, falls der Definitionsbereich einer stetigen Funktion ein abgeschlossenes beschränktes Intervall [a, b] ist; in diesem Fall ist nämlich auch das Bild ein solches Intervall. Schließlich diskutieren wir noch den Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit einer Funktion auf einer Menge M ⊆ ℝ; wir werden insbesondere zeigen, dass im Falle M = [a, b] Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit auf M äquivalent sind, ein Ergebnis, welches wir in den folgenden Kapiteln noch mehrmals ausnutzen werden.