Die Grundidee der Funktionalanalysis ist es, Folgen oder Funktionen als Punkte in einem geeigneten Vektorraum zu interpretieren und Probleme der Analysis durch Abbildungen auf einem solchen Raum zu studieren. Zu nichttrivialen Aussagen kommt man aber erst, wenn man Vektorräume mit einer Norm versieht und analytische Eigenschaften wie Stetigkeit etc. der Abbildungen untersucht. Es ist dieses Zusammenspiel von analytischen und algebraischen Phänomenen, das die Funktionalanalysis auszeichnet und reizvoll macht.
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Literaturhinweise
Dieses Kapitel kann man als Kurzfassung von
D. Werner: Funktionalanalysis. 6. Auflage, Springer, 2007.
ansehen. Andere elementar gehaltene Einführungen sind:
J. Appell, M. Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Vieweg, 2005.
Y. Eidelman, V. Milman, A. Tsolomitis: Functional Analysis. American Mathematical Society, 2004.
K. Saxe: Beginning Functional Analysis. Springer, 2002.
Insbesondere das Buch von Appell und Väth ist sehr reich an Beispielen. Vertiefende Darstellungen mit unterschiedlichen Schwerpunkten findet man unter anderem in:
H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. 3. Auflage, Springer, 1999.
H. Heuser: Funktionalanalysis. 3. Auflage, Teubner, 1992.
M. Mathieu: Funktionalanalysis. Spektrum-Verlag, 1998.
R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992.
M. Reed, B. Simon: Methods of Modern Mathematical Physics. I: Functional Analysis. 2. Auflage, Academic Press, 1980.
W. Rudin: Functional Analysis. 2. Auflage, McGraw-Hill, 1991.
E. Zeidler: Applied Functional Analysis (2 Bde.). Springer, 1995.
Zur Fourieranalysis sind höchst empfehlenswert:
G. B. Folland: Fourier Analysis and its Applications.Wadsworth and Brooks/Cole, 1992.
T. W. Körner: Fourier Analysis. Cambridge University Press, 1988.
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Werner, D. (2009). Funktionalanalysis. In: Einführung in die höhere Analysis. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-540-79696-1_5
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