Folgen und Reihen

Auszug

Wir haben in Kapitel 2 gesehen, dass wir durch gezieltes Probieren die Zahl $\sqrt 2$ beliebig genau durch rationale Zahlen annähern können. Ein effizientes Verfahren hat der griechische Mathematiker Heron im 1. Jh. n. Chr. angegeben: Man beginnt mit einem Näherungswert a₁, etwa a₁ = 2, und wählt einen zweiten Wert $b_1 = \frac{2} {{a_1 }} = 1$ sodass das Rechteck mit den Seiten a₁ und b₁ die Fläche a₁b₁ = 2 hat. Hätten wir den richtigen Wert (nämlich $\sqrt 2$) gewählt, so hätten wir ein Quadrat erhalten. So ist aber die eine Seite zu lang und die andere zu kurz. Einen besseren Näherungswert erhalten wir, indem wir den Mittelwert $a_2 = \frac{{a_1 + b_1 }} {2} = \frac{1} {2}(a_1 + \frac{2} {{a_1 }})$ wählen. Der nächste Näherungswert wird in gleicher Weise aus dem zweiten Näherungswert berechnet: $a_3 = \frac{1} {2}(a_2 + \frac{2} {{a_2 }}) = 1.416666...$ In diesem Sinn geht es weiter:

$$ \begin{gathered} a_4 = \frac{1} {2}(a_3 + \frac{1} {{a_3 }}) = 1.414215... \hfill \\ a_5 = \frac{1} {2}(a_4 + \frac{1} {{a_4 }}) = 1.414213... \hfill \\ \end{gathered} $$

Man erhält eine Folge a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, . . . von Näherungswerten. Es kann gezeigt werden, dass dadurch $\sqrt 2$ in jeder gewünschten Genauigkeit angenähert werden kann.