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Eigenwerte und Eigenvektoren

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Auszug

Wir haben eine Menge von n linear unabhängigen Vektoren u1, . . . , un ∈ ℝn (oder ℂn) als Basis bezeichnet, da sich jeder Vektor x un ∈ ℝn als Linearkombination
$$ {\text{x = }}\sum\limits_{j{\text{ = 1}}}^n {y_j u_j } $$
schreiben lässt. Betrachten wir diese Basisvektoren als fix gegeben, so kann der Vektor x sowohl durch seine Koordinaten x1, . . . , xn bezüglich der Standardbasis e1, . . . , en, wie auch durch seine Koordinaten y1, . . . , yn bezüglich der neuen Basis u1, . . . , un beschrieben werden. Wenn wir die Basisvektoren uj als Spalten einer Matrix
$$ U = (u_1 u_2 ...u_n ) $$
auffassen, dann können wir damit leicht zwischen den verschiedenen Koordinaten hin und her rechnen:
$$ x = Uy,y = U^{ - 1} x. $$
Insbesondere ist der Zusammenhang zwischen den Basisvektoren durch
$$ u_j = Ue_j ,j = 1,...,n $$
gegeben, d.h., die Matrix U ist die Matrix jener lineare Abbildung, die die alte Basis e1, . . . , en in die neue Basis u1, . . . , un überführt. Diese lineare Abbildung bzw. die zugehörige Matrix U wird Basistransformation oder Koordinatentransformation genannt.

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008

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