Die schlichten stetigen Bilder des Nullraums.

Auszug

Das Folgende ist eine kleine Ergänzung zu Herrn Kuratowski’s ¹) Theorie der schlichten, beiderseits Boreischen Abbildungen (homéomorphies de classe α,β). Es ist dort festgestellt, dass jede Boreische Menge A eines separablen vollständigen Raumes schlichtes stetiges Bild einer im Nullraum N abgeschlossenen Menge N ₀ und, falls unabzählbar, nach Tilgung einer abzählbaren Menge R schlichtes stetiges Bild von N selbst ist; ausserdem wird die Klasse der inversen Abbildung präzisiert (vgl. unten (5)). Wenn wir fragen, wann A schlichtes stetiges Bild von N selbst ist (also N ₀ =N oder R=0 angenommen werden kann), so ergibt sich als notwendige Bedingung, dass A wie N verdichtet sein muss; dies erweist sich aber auch als hinreichend: die schlichten stetigen Bilder von N sind mit den verdichteten Boreischen Mengen identisch ²). Auch hierbei soll die Klasse der inversen Abbildung präzisiert werden (Satz I).

Wir zitieren die beiden Werke: (A) Topologie I, Monografie Matematyczne, Warszawa—Lwów 1933. (B) Sur une généralisation de la notion d’homéomorphie, Fund. Math. 22 (1934), p. 206–220.

Vgl. W. Sierpiński, Sur les images continues et biunivoques de l’en semble de tous les nombres irrationnels, Mathematica 2 (1929), p. 18–21 (für lineare Borelsche Mengen).