Große dünnbesetzte lineare Gleichungssysteme, iterative Lösungsverfahren

Auszug

Bei der Diskretisierung partieller Differentialgleichungen in mehreren Ortsvariablen, die zum Beispiel bei Elastizitätsproblemen, Diffusionsprozessen oder Strömungssimulationen auftreten, ergeben sich typischerweise sehr große Gleichungssysteme mit gegebenenfalls mehreren Millionen Unbekannten. Die betreffenden Matrizen sind dabei meist dünnbesetzt (sparse), d. h. die Gesamtzahl der von Null verschiedenen Einträge bleibt in der Größenordnung der Anzahl der Unbekannten. Für solche Gleichungssysteme sind die in Kapitel 3 behandelten direkten Methoden im allgemeinen ungeeignet. Daß die Matrizen dünnbesetzt sind, kann nur sehr bedingt ausgenutzt werden, da die Unbekannten bei Problemen mit mehreren Ortsvariablen nie so angeordnet werden können, daß die Indizes geometrisch benachbarter Größen stets nahe beisammen liegen. Folglich liegen die von Null verschiedenen Einträge der Matrizen oft weit über die jeweilige Zeile verteilt. Selbst bei der Verwendung von Bandbreitenreduktionstechniken würden direkte Verfahren im Verlaufe von Eliminationsschritten ein „fill-in“, d. h. eine Zunahme nicht verschwindender Einträge und damit eine signifikante Zunahme des Speicherbedarfs, bewirken (siehe Bemerkung 13.2). Es zeigt sich, daß diese Verfahren auch hinsichtlich der Rechenzeiten für derartige Größenordnungen nicht geeignet sind. Man weicht stattdessen auf gewisse iterative Verfahren aus, die sich bei solchen Problemen als überlegen erweisen. Die Entwicklung und theoretische Analyse dieser Methoden ist ein sehr weites Feld.