Sturm-Liouville-Probleme und spezielle Funktionen

Abstract

Im letzten Kapitel wurden wir auf natürliche, gewissermaßen unvermeidliche Weise dazu geführt, bestimmte lineare gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung wie die Legendresche oder die Besselsche Differentialgleichung näher zu betrachten, obwohl diese Gleichungen auf den ersten Blick einen recht willkürlichen Eindruck machen. Die Lösungen von diesen und ähnlichen Differentialgleichungen werden als „Spezielle Funktionen der mathematischen Physik“ bezeichnet, und ihre Rolle kann man der der elementaren Funktionen vergleichen – sie bilden sozusagen die zweite Liga der elementaren Funktionen. Wie diese sind sie durchweg analytisch und können als holomorphe Funktionen in der komplexen Ebene gedeutet werden. Manche sind sogar einfach Polynome einer speziellen Bauart. Sie sind sehr gut untersucht, und ihre interessanten Eigenschaften und vielfältigen Beziehungen untereinander füllen dicke Bände, von denen einige in unserem Literaturverzeichnis angegeben sind. Formelsammlungen und Tabellenwerke wie etwa [1, 38, 52] sind für den Praktiker besonders nützlich, werden jedoch heute zunehmend von Datenbanken verdrängt, die über das Internet allgemein zugänglich sind. Die Wichtigkeit der speziellen Funktionen rührt davon her, dass die Lösungen gewisser fundamentaler Problemstellungen der Physik zumindest in den einfachsten Fällen, die dann als Ausgangspunkt für weitere Untersuchungen dienen, mit ihrer Hilfe explizit angegeben und gründlich diskutiert werden können.