Morphismes d'ensembles ordonnés

Soit P un ensemble ordonné modélisant, par exemple, un problème d’ordonnancement (cf. la section 7.5 du chapitre 7). Le calcul de caractéristiques de l’ensemble ordonné lié au problème, par exemple celui d’extensions linéaires de P, nécessite l’implémentation d’un algorithme où P sera représenté par une structure appropriée de données. En particulier, on peut utiliser une représentation des éléments de P par des suites composées de r symboles 0 et 1. Il faut pour ceci que, si (et seulement si) x et y sont deux éléments de P vérifiant x < y et que c(x) et c(y) sont les r-suites représentant ces éléments, on ait c(x) < c(y), où < est l’ordre du produit direct 2r. L’application c de P dans ce produit direct doit donc conserver l’ordre de P. On a ainsi un exemple parmi bien d’autres où l’on est amené à considérer les applications d’un premier ensemble ordonné dans un second, conservant ou inversant l’ordre du premier. Ce chapitre est consacré à l’étude de telles applications, appelées morphismes1. On en définit différents types fondamentaux, comme les codages (ou plongements), les fermetures et les ouvertures, les applications résiduelles, résiduées et galoisiennes. On s’intéresse aux liens entre ces divers types d’applications, à des exemples canoniques, ainsi qu’à des développements naturels.