Der Funktionenraum

Zusammenfassung

Im vorangehenden Abschn. 2.2.8 haben wir das System der orthogonalen Fourier-Funktionen kennen gelernt. Es erweist sich nun als sehr nützlich, die geometrische Vorstellung einzuführen, dass dieses System von Funktionen ein unendliches orthogonales System von Einheitsvektoren im abstrakten, unendlich dimensionalen Raum der periodischen Funktionen definiert. Es gibt aber neben den Fourier-Funktionen noch eine ganze Reihe weiterer orthogonaler Funktionensysteme, die für die Physik sehr nützlich sind und deren Eigenschaften wir kennen lernen wollen, da sie bei der Lösung von Randwertproblemen partieller Differenzialgleichungen auftreten. Als solche partielle Differenzialgleichungen haben wir im Abschn. 1.4 etwa die Laplace’sche, Poisson’sche, d’Alembert’sche und Wärmeleitungsgleichung besprochen. Ferner ist der Formalismus des Funktionenraumes, auch Hilbert-Raum genannt, der viele Analogien mit den Rechenoperationen von Vektoren und Tensoren im dreidimensionalen Kartes’schen Raum aufweist (siehe Anh. B), die mathematische Basis, auf der die Quantenmechanik aufgebaut ist.