Variationsrechnung

Zusammenfassung

In der Natur laufen viele Vorgänge so ab, dass eine bestimmte Größe einen extremalen Wert annimmt, z.B. bei minimaler Energie oder bei maximaler Entropie. Das Gleiche gilt für die Form, auf die sich ein System im Gleichgewicht einstellt. Praktisch alle fundamentalen Naturgesetze kann man aus derartigen Variationsprinzipien ableiten, und für die Theorie bedeutet das, dass man mathematische Methoden entwickeln muss um festzustellen, welcher Bewegungsablauf bzw. welche Gleichgewichtsform eine gegebene Größe extremal macht. Extremwertaufgaben haben wir zwar schon in den Abschnitten 9G. und 21C. besprochen, aber dabei handelte es sich immer um Funktionen von n reellen Variablen. Die Größen, die jetzt zu optimieren sind, hängen aber vom gesamten Verlauf der Bewegung bzw. von der gesamten Gestalt der Gleichgewichtslage ab, sind also Funktionen, deren Argumente selbst wieder Funktionen sind. Die Variationsrechnung zeigt, wie man trotzdem mittels Differenzialrechnung und Differenzialgleichungen zu brauchbaren Kriterien für Extrema gelangen kann. In diesem und dem nächsten Abschnitt geben wir einen ersten Einblick in dieses für die Physik absolut fundamentale Teilgebiet der Analysis.