Teilmannigfaltigkeiten des Euklid’schen Raumes

Zusammenfassung

Eine k-dimensionale Teilmannigfaltigkeit oder Untermannigfaltigkeit des n-dimensionalen Euklid’schen Raumes ist eine Teilmenge von Rⁿ, die, grob gesprochen, lokal immer durch eine glatte Koordinatentransformation „geradegebogen“ werden kann, so dass das transformierte Stück von ihr so aussieht wie ein Gebiet in einem k-dimensionalen linearen Teilraum. Die ganze Teilmannigfaltigkeit M darf also gekrümmt, gebogen und gewunden sein, aber die Umgebung eines beliebigen Punktes a∈M muss bei hinreichend starker Vergrößerung beinahe gerade ausschauen, so dass sie nach geringer Modifikation als offene Teilmenge in einen k-dimensionalen linearen Teilraum hineinpasst. Knicks, Ecken oder Kanten sind also für Teilmannigfaltigkeiten verboten, denn solche Stellen in einem geometrischen Gebilde sehen auch bei stärkster Vergrößerung immer gleich geknickt aus.