Laurent-Reihen und Residuensatz

Zusammenfassung

Wir behandeln hier eine Verallgemeinerung der Taylor-Entwicklung, bei der die holomorphe Funktion f(z) bei Annäherung an den Entwicklungspunkt z₀ ein singuläres Verhalten zeigt und insbesondere z₀ selbst gar nicht zum Definitionsbereich von f gehört (Abschn. A.). Es zeigt sich, dass ein bestimmter Koeffizient in dieser Entwicklung, das sog. Residuum, einen entscheidenden Einfluss auf den Wert von Kurvenintegralen von f längs geschlossener Kurven hat (Abschnitte B. und C.). Dies ermöglicht u.a. die Berechnung von uneigentlichen Integralen reell-analytischer Funktionen in vielen Fällen, in denen die explizite Auswertung der Integrale mittels elementarer Methoden nicht gelingt. Ein wichtiges Beispiel für diese Technik wird in Abschn. D. diskutiert.