Rekursionen und Wachstum von Algorithmen

Auszug

Viele Abzählprobleme können nicht direkt mithilfe der Methoden gelöst werden, die wir im Kapitel 7 kennen gelernt haben. Ein Beispiel für ein solches Problem ist: Wie viele Möglichkeiten gibt es, Bitfolgen der Länge n zu bilden, die keine aufeinander folgenden 1 enthalten? Wenn wir zum Beispiel n = 3 setzen, dann können wir die erlaubten Bitfolgen leicht anschreiben: 000, 100, 010, 001, 101; es gibt also fünf derartige Folgen. Wie viele gibt es aber zum Beispiel für n = 8 oder n = 12? Es wäre praktisch, eine Formel für allgemeines _n zu haben. Wenn wir mit a_n die Anzahl der erlaubten Bitfolgen der Länge _n bezeichnen, dann werden wir in diesem Kapitel sehen, dass a_n+1 = a_n + a_n−1 ist. Wir können also die gesuchte Anzahl mithilfe einer Rekursion ausdrücken. Mithilfe der Anfangsbedingungen a₁ = 2 und a₂ = 3 können wir a₃ = a₂ + a₁ = 5 berechnen, und weiter a₄ = a₃ + a₂ = 8 usw. Es ist sogar möglich, ein nicht-rekursives Bildungsgesetz a_n = f(n) zu finden. Wir erhalten es durch Lösung der Rekursion.