Die Sätze von Montel und Vitali

Auszug

In der Infinitesimalrechnung ist das Prinzip der Auswahl konvergenter Folgen aus beschränkten Mengen M des ℝⁿ unentbehrlich: Jede Folge von Punkten aus M hat eine in ℝⁿ konvergente Teilfolge (Weierstrass-Bolzano-Eigenschaft). Die Übertragung dieses Häufungsstellensatzes auf Funktionenmengen ist für viele Überlegungen der Analysis fundamental. Allerdings ist Vorsicht geboten: Nicht jede Folge von im Intervall [0, 1] reell analytischen Funktionen, deren Werte alle in einem festen beschränkten Intervall liegen, hat konvergente Teilfolgen, ein nichttriviales Beispiel ist die Folge sin 2nπx, vgl. Abschnitt 7.1.1.