Nabelpunkte und konforme Abbildungen

Zusammenfassung

Wir wollen in diesem Kapitel eine Anwendung der Hyperflächentheorie auf ein ganz anderes Gebiet geben: die Theorie der konformen Abbildungen. Das sind Diffeomorphismen zwischen offenen Teilmengen von E = Eⁿ, die zwar nicht Kurvenlängen oder Abstände, wohl aber Winkel erhalten. Dabei zeigen sich einschneidende Unterschiede, je nachdem, ob die Dimension 2 ist oder größer: Für n = 2 gibt es viele konforme Abbildungen, aber für n ≥ 3 nur noch wenige (Satz 7.3.1 von Liouville). Dieses unterschiedliche Verhalten ist in der Hyperflächentheorie begründet. Zwei ganz unabhängige Konzepte spielen dabei eine Hauptrolle (siehe S. 86f): Nabelpunkthyperflächen und orthogonale Hyperflächensysteme.