Krümmung und Gestalt

Zusammenfassung

So wie man eine Immersion auf verschiedene Weisen parametrisieren kann, lässt sich auch ein Riemannsches Gebiet (U, g) in unterschiedlichen Koordinaten beschreiben, wie wir in 11.1 gesehen haben. Zu anderen Koordinaten überzugehen bedeutet auf U einen Diffeomorphismus φ : U → ˜U anzuwenden und eine Riemannsche Metrik ˜g auf ˜U so zu definieren, dass φ eine Isometrie wird, vgl. (11.4), (11.7). Alle Koordinatensysteme beschreiben dieselbe Geometrie, aber manche sind besser an die Geometrie angepasst als andere. Zum Beispiel benutzen wir im euklidischen Raum gerne lineare rechtwinklige Koordinaten, in denen sich das euklidische Skalarprodukt als g _ij = δ _ij schreibt. Bei Kurven (m = 1) war die Parametrisierung nach der Bogenlänge am besten der Geometrie angepasst (vgl. Lemma 2.1.2).