Minimalflächen und Maximumprinzip

Zusammenfassung

Das Maximumprinzip von E. Hopf sagt, dass eine Funktion f : U → R mit Δf ≥ 0 kein lokales Maximum haben kann, es sei denn, sie ist konstant. Dem Beweis zugrunde liegt der Gedanke, dass an einer Maximalstelle x die Hesseform ∂∂f _x negativ semidefinit ist, denn die Werte von f nehmen von x aus nach allen Richtungen ab oder jedenfalls nicht zu. Insbesondere muss Δf(x) = Spur ∂∂f _x ≤ 0 gelten. Das ist noch kein Widerspruch zur Voraussetzung Δf ≥ 0. Aber wenn f nahe x nicht konstant ist, können wir eine Hilfsfunktion h mit Δh > 0 konstruieren (siehe (10.11) am Ende dieses Abschnittes) mit der Eigenschaft, dass f _∈ := f + ∈h immer noch nahe bei x ein Maximum annimmt, obwohl jetzt Δf _∈ > 0; das ist ein Widerspruch. Das Argument bleibt gültig, wenn Δ durch Δ^g für die erste Fundamentalform g einer Immersion X (oder allgemeiner für eine Riemannsche Metrik g) ersetzt wird (vgl. (6.34)), da auch die g-Hesseform im Maximum negativ semidefinit ist; das wurde zuerst von Calabi benutzt. Natürlich lassen sich alle Ungleichungen umdrehen und ”Maximum“ durch ”Minimum“ ersetzen. Wir wollen dieses Prinzip im folgenden Satz auf die Abstandsfunktion zwischen zwei Minimalhyperflächen anwenden, müssen dazu aber das Argument etwas verfeinern.