Abstrait
Nous savons que le problème d’éeoulement considéré sera bien posé si, en particulier, sa solution dépend continûment des données. Cela veut dire que: de très petites erreurs dans les données du problème doivent conduire à de très faibles changements dans l’évolution de sa solution. Si cela est bien le cas, nous dirons que la solution considérée est stable (vis-a-vis des données), s’agissant ici de solutions d’écoulements dits laminaires.
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Références
Voir dans «Annual Review of Fluid Mechanics», vol. 5 de 1973, pp. 361 à 382, son article: Hydrodynamics Flow Visualization.
Voir son livre: «Problèmes mathématiques de la dynamique des fluides visqueux incompressibles», édité à Moscou, 1970, 2e édition avec compléments, Nauka (en langue russe).
Cette équation a été obtenue pour la première fois par Landau dans l’article publié dans les: Comptes Rendus de l’Acad. des Sci. de l’URSS, 1944, 44, pp. 311 à 314. On pourra aussi consulter le § 27 du livre de Landau et Lifshitz (Mécanique des milieux continus, édité à Moscou, 1954, en langue russe).
Ces deux critères de Serrin ont été obtenus dans son article de 1959, déjà cité.
Le résultat a été obtenu dans son article de 1959, déjà cité, tandis que celui de Velte est publié dans «Arch. Rat. Mech. Anal.», 9, 1962, pp. 9 à 20.
Voir l’article de: Flandroy et Platten dans le J. de Mécanique, vol. 19, 1980, pp. 639–662.
Nous nous inspirons directement de l’article de L.N. Long publié dans: J. of Engineering Mathematics 21, 1987, 167–178. On pourra aussi consulter le chapitre 5 du livre de Drazin et Reid (de 1981, déjà cité).
Nous nous inspirons directement de notre article avec J.P. Guiraud (J. de Mécanique, vol. 17, no 3, 1978, 387–402).
Nous nous inspirons directement de notre article avec J.P. Guiraud (J. de Mécanique, vol. 17, no 3, 1978, 387–402).
Voir à ce sujet le livre de base sur la stabilité (principalement linéaire) de Chandrasekhar («Hydrodynamic and hydromagnetic stability»; Oxford, Clarendon Press, 1961).
On notera cependant que ce phénomène de tension superficielle sur la surface libre est essentiel pour expliquer les expériences de Bénard en couche très mince («Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide», Revue générale des Sciences pures et appliquées, 11, 1261–71 et 1309–28, 1900).
Le critère de Routh et Hurwitz donne une condition nécessaire et suffisante pour que toutes les racines d’un polynôme (réel) aient des parties réelles négatives et on pourra, à ce sujet, consulter le livre de Gantmacher (Applications of the theory of Matrices. New York; Interscience 1959; voir la page 231).
Cette dérivation est directement inspirée de l’article de Coullet et Huerre (voir: Physica 23D, 1986, pp. 27–44).
On pourra, à ce sujet, consulter le chapitre 15 du livre de Nayfeh («Introduction to Perturbation Techniques»; J. Wiley et Sons, 1981).
C’est l’équation de Newel et Whitehead et aussi de Segel (1969; déjà cités).
Dans: Journal de Mécanique, vol. 5, 1966, pp. 29 à 43.
Si l’on met l’équation (18,57) sous forme adimensionnelle, alors on voit apparaître les deux paramètres réduits suivants: \( \beta /\alpha et \frac{{g\beta }} {{\alpha ^2 u_B^2 (0)}} \equiv \frac{{\beta /\alpha }} {{u_B^2 (0) \alpha /g}} \) et le nombre sans dimension u 2B (o) α/g joue le rôle d’un nombre de Froude caractéristique au carré. Pour obtenir l’équation qui correspond à l’approximation de Boussinesq: \( \left[ {u_B (Z) - c} \right]^2 \left\{ {\frac{{d^2 \psi }} {{dZ^2 }} - \alpha ^2 \psi } \right\} - \left[ {u_B (Z) - c} \right]\frac{{d^2 u_B }} {{dZ^2 }}\psi + g\beta \psi = 0, \) il faut supposer que \( \frac{\beta } {\alpha } \to 0 \underline {et} \frac{{u_B^2 (0)\alpha }} {g} \to 0 \) de telle façon que \( 2\widehat{Fr}_o^2 \equiv \frac{{g\beta }} {{\alpha ^2 u_B^2 (0)}} \cong 1. \) On pourra, au sujet de cette approximation de Boussinesq, consulter notre article de synthèse de 1985 (dans «Int. J. Engng. Sci.», vol. 23, no 11, pages 1239–1288; voir la section 6).
Dont le titre est: Stabilité Hydrodynamique et Dynamique de l’atmosphère. Guidrometeoizdat, Leningrad, 1976, en langue russe.
Voir: J. Fluid Mech. vol. 10, no4, 1961 pages 496–508 et 509–512.
Voir: J. Fluid Mech. 10, 1961, 509–512.
Voir, en particulier, l’article de Benney et Maslowe dans «Studies in Applied Maths.», vol. 54, no 3, 1975, 181–205.
Voir, à ce sujet, l’article de Liu et Benney dans «Studies in Applied Maths.», v. 64, 1981, 247–269.
Nous tirons profit ici de l’article de G. Cognet dans le Numéro Spécial 1984 du J.M.T.A. (p. 7 à 44).
On pourra, à ce sujet, consulter le travail de Yih publié dans: Arch. Ration. Mech. Anal., vol. 45, pp. 288–300, 1972.
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(1991). Sur la Stabilite des Ecoulements Laminaires. In: Mécanique des fluides fondamentale. Lecture Notes in Physics Monographs, vol 4. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-540-38359-8_5
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