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Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques

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Modular Functions of One Variable III

Part of the book series: Lecture Notes in Mathematics ((LNM,volume 350))

Abstrait

Soient K un corps de nombres algébriques totalement réel, et ζK sa fonction zêta. D’après un théorème de Siegel [24], ζK(1 − k) est un nombre rationnel si k est entier ⩾ 1; il est ≠ 0 si k est pair. Lorsque K est abélien sur Q, on peut écrire ce nombre comme produit de «nombres de Bernoulli généralisés»:

$$ \zeta _K (1 - k) = \mathop \prod \limits_X L(X,1 - k) = \mathop \prod \limits_X ({{ - b_k (X)} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - b_k (X)} k}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} k}), cf. [18], $$

, où χ parcourt l’ensemble des caractères de Q attachés à K. Cela permet de démontrer des propriétés de congruence reliant les ζK(1−k) pour diverses valeurs de k, et d’en déduire par interpolation une fonction zêta p-adique pour le corps k, au sens de Kubota-Leopoldt (cf. [7], [10], [11], [16]).

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  1. 6 avenue de Montespan, 75116, Paris, France

    Jean-Pierre Serre

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  1. Jean-Pierre Serre
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Editors and Affiliations

  1. Rijksuniversitair Centrum Antwerpen, Leerstoel Algebra, Groenenborgerlaan 171, 2020, Antwerpen, Belgium

    Willem Kuijk

  2. Collège de France, 11, pl. Marcelin Berthelot, 75231, Paris Cedex 05, France

    Jean-Pierre Serre

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Serre, JP. (1973). Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques. In: Kuijk, W., Serre, JP. (eds) Modular Functions of One Variable III. Lecture Notes in Mathematics, vol 350. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-540-37802-0_4

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