Gewöhnliche Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Bei der mathematischen Beschreibung physikalischer Probleme ergeben sich oft Gleichungen, in denen Funktionen mit ihren Ableitungen verknüpft sind. Wir betrachten

Beispiel 5.1

Eine Kugel der Masse m hänge an einer Feder mit der Federkonstanten k. Zur Zeit t = 0 werde die Feder um x₀ gedehnt und dann losgelassen. Wir wollen die Bewegung der Kugel beschreiben. Dazu wählen wir die vertikale, nach unten zeigende Richtung als positiv und den Mittelpunkt der Kugel in der Ruhelage als Nullpunkt. Die Lage des Mittelpunktes der Kugel zur Zeit t bezeichnen wir mit x(t). Nach dem Grundgesetz der Mechanik ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung gleich der Summe aller Kräfte. Im vorliegenden Falle wirkt, wenn wir die Reibung vernachlässigen, nur eine Kraft auf die Kugel ein: die der Längenänderung der Feder proportionale Federkraft k⋅x(t), die der Bewegung entgegenwirkt. Nach dem Grundgesetz der Mechanik folgt also

$$ \label{5.1} m \cdot \ddot{x}(t) = -k \cdot x(t)) $$

((5.1))

In dieser Gleichung sind die Funktion x und ihre zweite Ableitung ẍ miteinander verknüpft.