Allgemeine Problemstellung der statischen Optimierung

Zusammenfassung

Die allgemeine Problemstellung der statischen Optimierung lautet: Minimiere

$$f(\mathbf{x})\,, \quad \mathbf{x} = \mathbb{R}^n$$

unter Berücksichtigung von (u. B. v.)

$$\mathbf{c}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}\,, \quad \mathbf{c} \in \mathbb{R}^m$$

(2.1)

und

$$\mathbf{h}(\mathbf{x}) \leq \mathbf{0}\,, \quad \mathbf{h} \in \mathbb{R}^q\,,$$

(2.2)

wobei f die zu minimierende Gütefunktion, (2.1) die Gleichungsnebenbedingungen und (2.2) die Ungleichungsnebenbedingungen in allgemeiner Form darstellen. Der Vektor x ∈ ℝⁿ beinhaltet die gesuchten Entscheidungs- oder Optimierungsvariablen. Die Dimensionen der Vektorfunktionen c bzw. h sind m bzw. q. Damit die Problemstellung Sinn macht, muss m < n sein. Gilt nämlich m = n, so ist x aus (2.1) bestimmbar, falls die entsprechenden Teilgleichungen c _i (x) = 0, i = 1, …, m, unabhängig sind, und demzufolge gibt es kaum etwas zu optimieren. Bei m > n wäre (2.1) sogar überbestimmt. Für die Anzahl q der Ungleichungsnebenbedingungen gibt es hingegen keine obere Grenze. Im Folgenden werden die Gleichungs- bzw. Ungleichungsnebenbedingungen mit GNB bzw. UNB abgekürzt. Das formulierte Problem ist allgemein auch als Aufgabenstellung der nichtlinearen Programmierung oder mathematischen Programmierung bekannt, s. [140] für einen interessanten geschichtlichen Überblick.