Gemischte Modelle

Auszug

Gemischte Modelle (mixed models) beziehen in den Prädiktor η = x′β linearer, generalisierter linearer und kategorialer Modelle neben den bislang betrachteten festen Effekten auch zufällige Effekte oder Koeffizienten ein. Man spricht deshalb auch von Modellen mit zufälligen Effekten (random effects models). Ein wichtiger Anwendungsbereich dieser Modelle ist die Analyse von Longitudinaldaten, die sich durch zeitlich wiederholte Beobachtungen von Individuen bzw. Objekten im Rahmen von Längsschnittstudien ergeben. Eng verwandt damit ist die Analyse von sogenannten Clusterdaten, wenn aus Primäreinheiten (Cluster, Klumpen) mehrere Objekte ausgewählt und zugehörige Variablen erhoben werden. In Querschnittsstudien können die Cluster oder Primäreinheiten zum Beispiel Kliniken, Schulen oder Firmen sein, in denen jeweils an einer — unter Umständen auch kleinen — Teilstichprobe von Patienten, Schülern oder Kunden Daten zu interessierenden Variablen erhoben werden. In beiden Fällen liegen für jedes Individuum bzw. für jeden Cluster i = 1, ..., m wiederholte Beobachtungen

$$ (y_{i1} , \ldots ,y_{ij} , \ldots ,y_{in_i } ,x_{i1} , \ldots ,x_{ij} , \ldots ,x_{in_i } ) $$

für Ziel- und Kovariablen vor. Bei Longitudinaldaten bezeichnet y_ij eine Beobachtung an Individuum i zum Zeitpunkt t_ij, während bei Clusterdaten y_ij der Wert der Zielvariablen für das j-te Objekt aus dem Cluster i ist, und n_i ist jeweils die Anzahl wiederholter Beobachtungen. Gemischte Modelle ermöglichen es, individuen- oder clusterspezifische Effekte zu modellieren und zu schätzen, und zwar insbesondere für den in Anwendungen oft auftretenden Fall relativ kurzer Längen n_i der individuellen Zeitreihen bzw. kleiner Umfänge n_i der Teilstichproben aus den Clustern i = 1, ..., m.