Numerische Quadratur

Zusammenfassung

In einigen Fällen können wir eine Stammfunktion (oder ein Integral) zu einer Funktion analytisch berechnen, d.h. wir können eine Formel für die Stammfunktion mit Hilfe bekannter Funktionen angeben. Beispielsweise können wir eine Formel für die Stammfunktion einer Polynomfunktion angeben, die wieder eine Polynomfunktion ist. Wir werden im Kapitel ”Integrationstechniken“ auf die Frage zurückkommen, analytische Formeln für Stammfunktionen für bestimmte Funktionsklassen zu finden. Der Fundamentalsatz besagt, dass jede Lipschitz-stetige Funktion eine Stammfunktion besitzt, er liefert aber keine analytische Formel für die Stammfunktion. Der Logarithmus

$$ \log(x) = \int_1^x \frac{dy}{y},\quad\mbox{für</Para><Para>}x>0) $$

,

ist ein erstes Beispiel für dieses Problem. Wir wissen, dass der Logarithmus log(x) für x > 0 existiert und wir haben einige seiner Eigenschaften indirekt anhand der Differentialgleichung hergeleitet, aber die Frage bleibt offen, wie der Wert von log(x) für ein bestimmtes x > 0 zu bestimmen ist. Haben wir dieses Problem einmal gelöst, so können wir log(x) unserer Liste von ”Elementarfunktionen“ hinzufügen, mit denen wir umgehen können. Unten werden wir dieser Liste die Exponentialfunktion, die trigonometrischen Funktionen und andere exotischere Funktionen hinzufügen.