Der Logarithmus log(x)

Zusammenfassung

Wir kommen auf die Frage nach der Existenz einer Stammfunktion für f(x) = 1/x für x > 0, die wir uns oben gestellt haben, zurück. Da die Funktion f(x) = 1/x auf jedem Intervall [a, b] mit 0 < a < b Lipschitz-stetig ist, wissen wir aus dem Fundamentalsatz, dass eine eindeutige Funktion u(x) existiert, die u'(x) = 1/x für a ≤ x ≤ b erfüllt und an einer Stelle in [a, b] einen bestimmten Wert annimmt, wie beispielsweise u(1) = 0. Da a > 0 so klein gewählt werden kann, wie wir wollen und b so groß, wie wir wollen, können wir die Funktion auch für ganz x > 0 betrachten. Wir definieren nun den natürlichen Logarithmus log(x) (oder ln(x)) für x > 0 als Stammfunktion u(x) von 1/x, die für x = 1 verschwindet, d.h. log(x) erfüllt

$$ \frac{d}{dx}(\log(x))=\frac{1}{x}\quad\mbox{für }x>0,\quad \log(1)=0 $$

((29.1))

. (29.1)

Mit Hilfe der Definition des Integrals können wir log(x) als Integral formulieren:

$$ \log(x) =\int_1^x\frac{1}{y}\, dy\quad\mbox{für }x>0 $$

((29.2))

. (29.2)

Im nächsten Kapitel werden wir diese Formel benutzen, um eine Näherung für log(x) für ein vorgegebenes x > 0 zu berechnen, indem wir eine Näherung für das entsprechende Integral berechnen. Wir stellen log(x) in Abb. 29.1 graphisch dar.