Die Exponentialfunktion für Matrizen exp(xA)

Zusammenfassung

Ein wichtiger Spezialfall des allgemeinen Anfangswertproblems (40.1) ist das lineare System

$$ u^\prime (x)=Au(x)\quad\mbox{für }0<x\leq T,\, u(0)=u^0 $$

((46.1))

, (46.1)

mit u⁰ ∈ ℝ^d, T > 0 und konstanter d×d-Matrix A. Die Lösung u(x) ∈ ℝ^d ist ein d-Spaltenvektor. Aus dem allgemeinen Existenzbeweis in Kapitel ”Das allgemeine Anfangswertproblem“ wissen wir, dass für (46.1) eine eindeutige Lösung existiert. Wenn wir uns daran erinnern, dass das skalare Problem u' = au mit Konstanter a durch u = e^xau⁰ gelöst wird, so schreiben wir die Lösung von (46.1):

$$ u(x)=\exp(xA)u^0=e^{xA}u^0 $$

((46.2))

. (46.2)

Diese Definition lässt sich auf natürliche Weise auf x < 0 erweitern.