Das allgemeine Anfangswertproblem

Zusammenfassung

Wir untersuchen nun das Anfangswertproblem oder AWP für ein System nicht-linearer Differentialgleichungen der Form: Gesucht ist u : [0, 1] → ℝ^d, so dass

$$ u^\prime (x)=f(u(x),x)\quad\mbox{für }0<x\leq 1,\, u(0)=u^0 $$

, (40.1)

wobei f : ℝ^d × [0, 1] → ℝ^d eine gegebene beschränkte und Lipschitz-stetige Funktion ist, u⁰ ∈ ℝ^d ist ein gegebener Anfangswert und d ≥ 1 die Dimension des Systems. Der Leser mag d = 2 oder d = 3 annehmen und begleitend die Kapitel über analytische Geometrie im ℝ² und ℝ³ wiederholen. Nach dem Kapitel ”Analytische Geometrie im ℝⁿ“ kann dies auf den Fall d > 3 erweitert werden. Die Inhalte im Kapitel ”Vektorwertige Funktionen mehrerer reeller Variablen“ werden zum großen Teil durch die Notwendigkeit der Untersuchung von Problemen der Gestalt (40.1) motiviert, weswegen dieses Kapitel mit jenem eng verknüpft ist. Wir halten dieses Kapitel abstrakt (und etwas philosophisch) und behalten uns viele Beispiele für unten vor. Beachten Sie, dass wir hier der Einfachheit halber für den Anfangswert einen hochgestellten Index u⁰ (statt u₀) benutzen.