Skalare autonome Anfangswertprobleme

Zusammenfassung

In diesem Kapitel betrachten wir das Anfangswertproblem für eine skalare autonome nicht-lineare Differentialgleichung: Dabei suchen wir eine Funktion u : [0, 1] → ℝ, so dass

$$ u^\prime (x)=f(u(x))\quad\mbox{für }0<x\leq 1,\, u(0)=u_0 $$

, (38.1)

wobei f : ℝ → ℝ eine gegebene Funktion ist und u₀ ein gegebener Anfangswert. Wir nehmen an, dass f : ℝ → ℝ beschränkt und Lipschitz-stetig ist, d.h., dass es Konstanten L _f und M _f gibt, so dass für alle v,w ∈ ℝ:

$$ \vert f(v)-f(w)\vert\le L_f\vert v-w\vert\quad\mbox{und}\quad</Para><Para>\vert f(v)\vert\le M_f $$

. (38.2)

Einfachheitshalber wählen wir das Intervall [0, 1], aber wir können natürlich auf jedes andere Intervall [a, b] verallgemeinern.