Zusammenfassung
Das klassische, zeitstetige Optionsbewertungsmodell von Black/Scholes (1973) und Merton (1973a) unterstellt stetige Kursverläufe der zugrundeliegenden Basisinstrumente. Daher müssen die Investoren lediglich bezüglich der Preisentwicklung übereinstimmen, sie besitzen also symmetrische Informationen. In diesem Fall kann unter der Annahme der Arbitragefreiheit die Black/Scholes-Bewertungsformel hergeleitet werden, ohne daß Annahmen über die Risikopräferenzen der Investoren getroffen werden müssen. Dies ist möglich, weil das Zahlungsprofil der zu bewertenden Option durch ein zeitstetig angepaßtes Portefeuille nachgebildet (dupliziert) werden kann. Die Bewertungsformel hängt (mehrheitlich) von beobachtbaren Parametern ab. Die von Black/Scholes und Merton begründete Optionsbewertungstheorie ist somit nicht nur theoretisch elegant, sondern auch besonders praktikabel.
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Literatur
Die Definition eines unvollst2ndigeri Marktes erfolgt hier im Sinne von Harrison/Pliska (1981/1983). Naik/Lee (1990) liefern den Beweis hierfür, daß der Markt im vorliegenden Fall unvollständig
Das risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß wird im Martingalansatz als äquivalentes Martingalmaß bezeichnet. Gemäß Dothan (1990/S. 208) ist das originare Maß Q zum risikoneutralen Maß Q äquivalent, wenn Q auf (11,F) absolut stetig zu Q auf (D, F) ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle A E F für die Q(A) = 0 auch Q(A) = 0 gilt.
Merton (1973a) lockert die Annahme einer konstanten Driftrate a. Er zeigt, daß a eine beliebige stochastische Zufallsvariable sein kann, die auch vom Kursniveau oder anderen Wertpapieren abhängig sein kann.
Zum Beweis vgl. auch Jarrow/Rudd (1983/S. 104) und die dort angegebene Literatur.
Alternativ dazu zeigen Black/Scholes, daß ein risikoloses Portefeuille (Hedgeportefeuille) zusammengestellt werden kann. Dieses Portefeuille besteht aus der Option, der zugrundeliegenden Aktie und dem risikolosen Wertpapier. Die Zusammenstellung erfolgt derart, daß das Risiko aus der modellierten Aktienkursentwicklung eliminiert wird. Aus dem Prinzip des ‘law of one price’ folgt, daß sich dieses Portefeuille mit dem risikolosen Zinssatz verzinsen muß. Unter Einhaltung der Selbstfinanzierungsbedingung im Rahmen der notwendigen Portefeuilleumschichtungen leitet sich die fundamentale Differentialgleichung für den Optionswert her. Zum Beweis vgl. Black/Scholes (1973) und Merton (1973a).
Vgl. u. a. Kreps (1982), Duffie/Huang (1985) oder Duffle (1992/S. 26, 103).
Cox/Ross/Rubinstein (1979) zeigen auf, daß das Zwei-Zustandsmodell (Binomialmodell) im Grenzfall für unendlich viele Zeitschritte gegen die geometrisch Brownsche Bewegung konvergiert.
Zur Losung der Warmeleitungsgleichung vgl. beispielsweise Churchill (1963/5. 155).
Cox/Ross (1976/S. 153) betrachten zwei Ökonomien. In der einen Ökonomie handeln nur risikoaverse Investoren und in der anderen nur risikoneutrale Investoren; ansonsten sind die beiden Ökonomien jedoch (völlig) identisch. Sie zeigen, daß die Option in beiden Ökonomien den gleichen Wert annehmen wird, wenn es möglich ist, ein perfektes Hedgeportefeuille, bestehend aus der Aktie und der zugehörigen Option, zu bilden. Cox/Ross (1976/S. 154 Fußnote 2) weisen allerdings darauf hin, daß dieser Ansatz teilweise schon von Black/Scholes erkannt worden war.
Ein allgemeiner Überblick über die Martingaltheorie findet sich z. B. in Ash (1972), Arnold (1973), Elliott (1982) und Karatzas/Shreve (1988).
Vorhersehbar bedeutet im zeitstetigen Modell, daß der Prozeß meßbar ist beztiglich der o-Algebra, die von der Menge der adaptierten, linksstetigen Prozesse erzeugt wird (vgl. Duffle (1982/ S. 140)). Intuitiv interpretiert heißt dies, daß der Wert des linksstetigen Prozesses in t als Grenzwert des Prozesses bereits in t — dt bekannt ist.
Vg1. Dothan (1990/S. 207 f.) und Cox/Huang (1988/5. 275).
Vg1. Dothan (1990/5. 208 ff.), Duffle (1988/5. 222 ff.), Cox/Huang (1988) oder auch Ash (1971/S. 63 f.).
In allgemeinen Gleichgewichtsmodellen (vgl. Abschnitt 3.3) entspricht die Radon-Nikodym-Ableitung gerade dem Grenznutzen des repräsentativen Investors (vgl. Duffle (1992/5. 12)).
Vgl. Ash (1971/S. 254 ff.), Elliott (1982/S. 4) oder Duffle (1992/5. 224).
Eine detaillierte Beschreibung des Theorems von Girsanov wird z. B. in Karatzas/Shreve (1988/S. 191 ff.), Elliott (1982) oder Protter (1992) gegeben.
Vgl. Duffie (1988/S. 228 f) und Karatzas/Shreve (1988/S. 199).
Vg1. Back (1991) hinsichtlich einer allgemeineren Ableitung dieses Ergebnisses. 33Zur Definition dieses Prozesses vergleiche Back (1991/S. 377).
Die Black/Scholes-Formel kann, neben den beiden dargestellten Ansätzen, auch in Form eines Grenzübergangs durch das von Cox/Ross/Rubinstein (1976) vorgestellte Binomialmodell abgeleitet werden.
Entwickelt wurde dieses Modell von Sharpe (1964), Lintner (1965) und Mossin (1966). Merton (1973) erweiterte die ursprüngliche ein-Periodenversion des CAPMs auf eine allgemeinere zeitstetige Version, auf die hier bezug genommen wird.
Dies stellt eine sinnvolle Annahme für ein Gleichgewichtspreissystem dar, da ansonsten asymptotische Arbitragemöglichkeiten bestehen (vgl. Kreps (1981)). Einen ähnlichen Ansatz wählen auch Dybvig/Huang (1988), Jarrow/Madan (1995) und Naik (1993).
Die Rendite, ausgedrückt in Prozent des Investitionsvolumens, einer Investition in einen Produktionsprozeß ist unabhängig von der Höhe dieser Investition; der Produktionsprozeß hat also konstante Skalenerträge (vgl. Cox/ Ingersoll/Ross (1985a)).
Damit eine eindeutige und differenzierbare Lösung existiert, miissen Regulationsbedingungen eingehalten werden. Es handelt sich hierbei um Stetigkeitsannahmen und Wachstumsbeschränkungen, vgl. Cox/Ingersoll/Ross (1985a) und Bates (1988). Die Darstellung des Optimierungsproblems und dessen Losung lehnt sich hier an Ingersoll (1987/S. 272 ff.) an.
Diese Darstellung wählt auch Ingersoll (1987/S. 272).
Ein Semimartingal ist ein spezielles Semimartingal, wenn es in eine kanonische Zerlegung zurtickgeführt werden kann, vgl. Protter (1992/S. 124).
In Gleichgewichtsmodellen gilt, daß die Radon-Nikodym-Ableitung gerade dem relativen Grenznutzen des Konsums eines repräsentativen Investors entspricht; vgl. Duffie (1992/S. 12) und Huang/Litzenberger (1988/S. 136).
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© 1997 Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH, Wiesbaden
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Beinert, M. (1997). Optionsbewertung unter Berücksichtigung von Kurssprungrisiken. In: Kurssprünge und der Wert deutscher Aktienoptionen. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-99723-4_3
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Publisher Name: Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-8244-6281-0
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