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Das Ausgangsmodell

  • Stefan Schmale
Part of the Trends in Finance and Banking book series (TFB)

Zusammenfassung

Sowohl private als auch institutionelle Investoren legen ihr Vermögen in der Regel in Wertpapieren an, um es durch Erträge in Form von Zinsen oder Dividenden oder durch Steigerungen des Wertpapierpreises zu vermehren und dadurch ihre eigenen Konsummöglichkeiten respektive die ihrer Eigentümer im Zeitablauf zu erhöhen30. Eine Vermögensanlage in Wertpapieren ist jedoch im allgemeinen auch mit einer mehr oder minder großen Unsicherheit über die Zahlung der Erträge und die Rückzahlung des Kaufpreises verbunden. Diese Unsicherheit hat ein rationaler Investor bei seiner Anlageentscheidung regelmäßig mit einzubeziehen. Will man seine Nachfrage nach Wertpapieren modellieren, muß man fiir ihn deshalb ein Entscheidungsverfahren unterstellen, das neben den mit den Wertpapieren verbundenen Zahlungsströmen auch unterschiedliche Grade von deren Sicherheit bewertet und es dem Investor auf diese Weise erlaubt, seine Präferenzen für mögliche Alternativen umfassend zu vergleichen und zu ordnen. In der heutigen Kapitalmarkttheorie geschieht dies zumeist durch eine Betrachtung seines Entscheidungsproblems im Rahmen der Theorie des Risikonutzens (Bernoulli-Prinzip), die vielfach als das rationale Entscheidungsprinzip überhaupt angesehen wird31.

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Literatur

  1. 30.
    Zu diesen und möglichen anderen Anlagezielen vgl. z.B. Schmidt (1986, S. 23ff.).Google Scholar
  2. 31.
    So Z.B. von Schneeweib (1967).Google Scholar
  3. 32.
    G. Cramer hatte bereits 1728 ein ähnliches Konzept entwickelt und in einem Brief an Nikolaus Bernoulli, einem Onkel des Daniel Bernoulli, dargestellt. Vgl. dazu Bernoulli (1954).Google Scholar
  4. 34.
    Die Unzulänglichkeiten des Erwartungswertkriteriums werden häufig auch anhand des sogenannten St. Petersburger Paradoxons verdeutlicht. Gemeint ist damit ein Spiel, bei dem eine Münze genau so lange geworfen wird, bis zum ersten Mal Wappen erscheint. Bezeichnet n die bis dahin erfolgte Zahl der Würfe, so erhält der Spieler zu diesem Zeitpunkt 2“ Dukaten als Gewinn ausbezahlt. Obwohl der durch E7_,(1/2)’ 2’ =,(1)’ gegebene Erwartungswert dieses Spieles unendlich ist, wollten Personen, denen es angeboten wurde, nur verhältnismäßig geringe Summen als Einsatz riskieren. Für dieses und ähnliche Paradoxa vgl. z.B. Samuelson (1977).Google Scholar
  5. 35.
    Für einen vergleichenden Überblick vgl. z.B. Schneeweib (1963).Google Scholar
  6. 36.
    Das hier verwendete Axiomensystem ähnelt dem von Fama und Miller (1972, S. 192).Google Scholar
  7. 39.
    Die Rationalität einiger Axiome ist in der Literatur allerdings umstritten. Vgl. dazu z.B. Allais (1953).Google Scholar
  8. 40.
    In der Literatur werden teilweise auch die v. Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktionen als kardinal bezeichnet, so z.B. bei Copeland und Weston (1983, S. 80). Dieser scheinbare Widerspruch erklärt sich jedoch aus einem unterschiedlichen Verständnis von Kardinalität. Im neoklassischen Kontext drückt eine kardinale Nutzenfunktion sowohl Richtung als auch Intensität der Präferenzen aus. Von einem meßtheoretischen Standpunkt gesehen, bezieht sich der Begriff der Kardinalität hingegen auf die bis auf eine lineare Transformation gegebene Eindeutigkeit der Maßskala. Nur im letzteren Sinne sind auch v. Neumann-Morgenstem-Nutzenfunktionen kardinal. Vgl. dazu z.B. auch Schoemaker (1982, S. 533).Google Scholar
  9. 47.
    Grundsätzlich ist beliebige Differenzierbarkeit vorauszusetzen. Da, wie noch zu zeigen sein wird, in den von PRATT’ und Arrow verwandten Taylor-Reihen Tenne, die Ableitungen höheren Grades als zwei enthalten, als insignifikant gelten, wird jedoch meist nur mindestens zweifache Differenzierbarkeit verlangt.Google Scholar
  10. 48.
    Vgl. Pratt (1964, S. 123f). Um Widersprüche zu vermeiden, verlangt Arrow (1970, S. 93) zusätzlich, daß die Nutzenfunktion beschränkt ist. Zur Diskussion und Kritik dieses Utility-Boundedness-Theorems vgl. z.B. Snw (1980, S. 197ff.).Google Scholar
  11. 59.
    Mossin (1973, S. 20) begründet diese Vorgehensweise etwas abweichend damit, daß die auf beiden Seiten entfallenden Terme von etwa gleicher Größenordnung sind.Google Scholar
  12. 51.
    Dies ergibt sich zwangsläufig aus der von Arrow unterstellten Beschränkung der Nutzenfunktion. Vgl. dazu Arrow (1970, S. 93) sowie Fußnote 48.Google Scholar
  13. 52.
    Arrow (1970, S. 96). Genau stellt ARROW fest, daß bei Unterstellung einer beschränkten Nutzenfunktion (vgl. Fußnote 48) die relative Risikoaversion nicht kleiner als Eins sein kann, wenn das Vermögen gegen unendlich geht und nicht größer als Eins sein kann, wenn es gegen Null geht. Hieraus folgert er (S. 97f), daß RR mit dem Vermögen steigen müsse und seine Werte „hover around 1“.Google Scholar
  14. 53.
    Während Arrow’s Annahme über den Verlauf der absoluten Risikoaversion in der Literatur inzwischen weitgehend akzeptiert ist, sind jene zur relativen Risikoaversion nicht unumstritten. Für eine Diskussion vgl. z.B. Graves (1979). Eine empirische Untersuchung durch Blume und Friend (1975) mit Konsumentendaten des amerikanischen Federal Reserve Board ergab, daß der in riskanten Wertpapieren gehaltene relative Anteil bei Investoren mit unterschiedlichem Vermögen nahezu identisch ausfiel. Dies weist auf konstante relative Risikoaversion hin. Cohn, Lewellen, Lease und Schlarbaum (1975) werteten Fragebögen eines amerikanischen Brokenmtemehmens aus und stellten davon abweichend eine mit dem Vermögen abnehmende relative Risikoaversion fest. Beide Ergebnisse implizieren jedoch übereinstimmend abnehmende absolute Risikoaversion.Google Scholar
  15. 54.
    Diese Ubersicht wurde zu wesentlichen Teilen übernommen von Alexander (1986, S. 26).Google Scholar
  16. 55.
    Dies Vorgehen bedeutet keine Beschränkung der Allgemeingültigkeit, da eine v. Neumann-MorgensternNutzenfunktion ohnehin nur bis auf eine solche lineare Transformation bestimmt ist.Google Scholar
  17. 56.
    Vgl. Arrow (1970, S. 98), aber auch die Ausführungen auf S. 19 sowie die entsprechende Fußnote.Google Scholar
  18. 57.
    Alle Nutzenfunktionen mit konstanter relativer Risikoaversion massen entweder aus der Klasse der logarithmischen oder aus der Klasse der Potenzfunktionen stammen. Vgl. dazu z.B. Alexander (1986, S. 27).Google Scholar
  19. 58.
    Vgl. Z.B. Henderson und Quandt (1980, S. 58ff.). Neben den Exponentialfunktionen weisen auch affine Nutzenfunktionen konstante absolute Risikoaversion auf, die Investoren sind bei diesen allerdings nicht risikoavers.Google Scholar
  20. 60.
    Vgl. dazu auch MossiN (1968) sowie Cass und Stiglitz (1970).Google Scholar
  21. 61.
    Für die Beschränkung der Anlagemöglichkeiten auf nur je eine sichere und unsichere Anlageform vgl. z.B. Arrow (1970, S. 98ff.).Google Scholar
  22. 62.
    Diese unrealistische Annahme ist, wie auch die Nichtverzinsung positiver Geldbestände, ohne nennenswerten Einfluß auf spätere Ergebnisse, vereinfacht die Darstellung aber erheblich.Google Scholar
  23. 63.
    Bei der hier unterstellten Entscheidung über nur ein einzelnes Wertpapier würden grundsätzlich alle linearen Klassen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die endliche Varianzen aufweisen, diese Bedingung erfiillen. Könnte der Investor dagegen zwischen mehreren risikobehafteten Wertpapieren wählen, müßte für deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen außerdem die Additivitätseigenschaft (Reproduktionseigenschaft) vorliegen, d.h. nicht nur die Verteilungen der einzelnen Wertpapiere, sondern auch die ihrer Summe müßte durch Mittelwert und Varianz eindeutig beschrieben werden können. Innerhalb der linearen Klassen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit endlicher Varianz genügt allein die Normalverteilung dieser zusätzlichen Bedingung.Google Scholar
  24. 65.
    Vgl. dazu auch die Ausführungen auf S. 20f..Google Scholar
  25. 66.
    Ausführlicher dazu vgl. z.B. WILLIAMS (1977a).Google Scholar
  26. 67.
    Während das Pratt-Arrow-Maß jedoch nur für kleitte Risiken abgeleitet wurde, repräsentiert —Uwa I UE auch für große Risiken ein adäquates Maß der Risikoaversion.Google Scholar
  27. 68.
    Zur Definition von Risikotoleranz vgl. z.B. Mossin (1973, S. 113).Google Scholar
  28. 69.
    Vgl. dazu auch Bierwag und Grove (1968, S. 118) sowie LINTNER (1969, S. 360).Google Scholar
  29. 72.
    Zu diesem Verständnis des Informationsbegriffes vgl. z.B. auch Marschar (1954).Google Scholar
  30. 73.
    Anders als mitunter in anderen Arbeiten, so z.B. bei Beaver (1968, S. 68f.), zu findende Definitionen setzt die hier verwendete ausdrücklich nicht zusätzlich voraus, daß eine Information auch zu einer beobachtbaren Marktreaktion, wie der Veränderung von Wertpapierpreisen oder gesteigertem Handelsvolumen führen muß.Google Scholar
  31. 74.
    Vgl. hierzu insbesondere Grossman (1976) sowie Grossman und Stiglrrz (1976, 1980).Google Scholar
  32. 75.
    Obgleich diese Annahme hier allein zur Vereinfachung der Darstellung eingeführt wurde, fanden Oldfield, Rogalski und Jarrow (1977) auch empirische Hinweise darauf, daß die Varianz von Wertpapiererträgen tatsächlich im Zeitablauf nahezu konstant ist, während der Mittelwert Veränderungen unterliegt.Google Scholar
  33. 76.
    Zum Begriff des Tâtonnement vgl. z.B. W. Wlrns (1954) oder Malin Vaud (1985).Google Scholar

Copyright information

© Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH, Wiesbaden 1994

Authors and Affiliations

  • Stefan Schmale
    • 1
  1. 1.VallendarDeutschland

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