Harmonische Analyse auf kompakten topologischen Gruppen

Zusammenfassung

Aufgrund von Satz I.2.4 sind die irreduziblen unitären Darstellungen der abelschen topologischen Gruppen G stets eindimensional, können also mit Hilfe der Charaktere von G (Definition I.2.3) vollständig beschrieben werden. Im Falle G = T ⁿ ist die Menge ${\hat T^n}$ der Charaktere so reichhaltig, daß sie ein totales Orthonormalsystem im komplexen Hilbert-Raum L²(T _n ) bilden (Satz I.3.3). Dies hat zur Folge (vgl. das Diagramm (I.3.26)), daß die reguläre Darstellung τ von T ⁿ in L²(T ⁿ) in eindimensionale Darstellungen „zerfällt“. Das Ziel des vorliegenden Abschnitts ist zu zeigen, daß die irreduziblen unitären Darstellungen der kompakten topologischen Gruppen G endlich dimensional sind und daß sich jede unitäre Darstellung einer kompakten topologischen Gruppe G aus endlich dimensionalen, irreduziblen, unitären Darstellungen „zusammensetzt“. Insbesondere gilt dies für die linksreguläre Darstellung γ : s ⇝ (f ⇝ ε _s * f) von G: Der komplexe Hilbert-Raum L² (G) ist eine Hilbert-Summe endlich dimensionaler, gegen y stabiler Untervektorräume, die aus stetigen Funktionen G → C bestehen. Ihre direkte Summe kann als Ersatz für die trigonometrischen Polynome im abelschen Fall (Definition I.2.5) betrachtet werden.